旗开得胜 2010年考研数学冲刺试卷参考答案
（1）解 应选（D）
如果F(x)?f(x)?g(x)和G(x)?f(x)?g(x)都在x0处可导，则
F(x)?G(x)?2f(x)
在x0处可导，与题设矛盾，故应选（D） （2） 解 应选（A）
lim?x0dt?tln(1?u)du0sinx0x02t2x?0?lim?x0xln(1?u)du222?(1?cost)dtx?0[1?cos(sinx)]2xcosx?lim?x0ln(1?u2)du2x?02[1?cos(sinx)]
??limx?0ln(1?u2)dusinx22
ln(1?x2)x2?lim?lim3?? 3x?0x?04x4x??limx?0x0ln(1?u2)dux4(3)解 应选(B).
?x2?x?1?由于limearctan?，则y?为水平渐近线，
x??4(x?1)(x?2)4x21x2?x?1又 limearctan??，则x?0为垂直渐近线，故选(B).
x?0(x?1)(x?2)x21（4）解 应选（B）
2121由于f(x)?e,?tetdt?(ex?1)?[f(x)?1]，
022x2x（5）解 应选（C）
因为向量均为3维向量，故α1,α2,α3,β必线性相关，所以当α1,α2,α3线性无关时,β必可由α1,α2,α3线性表示，于是知命题④正确，又命题①实际上是④的逆否命题，故也正确.
（6）解 应选（C）.因为A是可逆的实对称矩阵，则(A?1)T?(AT)?1?A?1，即A?1也是实对称矩阵，而A
1
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旗开得胜 与A?1的特征值是互为倒数的关系，故二次型XTAX与XTA?1X有相同的规范形，标准形未必相同。 (7) 解 应选(A)
设Ai表示第i次取到合格品，A表示三次内取到合格品，则所求的概率为
P(A)?1?P(A)?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)?1?432?? 1098?1?129?，故选(A)。 3030(8) 解 应选（B）
设X的分布函数为FX(x)，由全概率公式及X与Y相互独立得，FZ(z)?P(Z?z)?P(Y/X?z)
?P(Y?0)P(Y/X?zY?0)?P(Y?1)P(Y/X?zY?1)?P(Y?2)P(Y/X?zY?2)1?[P(0/X?zY?0)?P(1/X?zY?1)?P(2/X?zY?2)] 31?[P(0/X?z)?P(1/X?z)?P(2/X?z)] 312当z?0时，Fz(z)?[P(X?1z)?P(X?z)]?0；
31122)?P(X?)]?[1?1?P(X?1当z?0时，Fz(z)?[1?P(X?1zzz)?1?P(X?z]
33112?[3?FX(1)?F()]F(z)?P(Z?0)?P(Y/X?0)?P(Y?0)?；当时， z?0XzZz33由于FZ(0?0)?0?（9）解 应填1 由于（e?1）?esinx21?FZ(0)，所以z?0是FZ(z)的唯一间断点，故选（B）。 3x2sinxln(ex?1)2，
而lim?sinx?ln(ex?1)
x?0ln(ex?1)2xexx?lim?xln(e?1)?lim??lim??0，故所求极限值为1.
21?1x?0x?0x?0(ex?1)2xx2222
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旗开得胜 1(10) 解 应填;
3（11）解 应填
?2;
由格林公式知 I?4x2?y2?1??(1?2yey2)dxdy
而2yey关于y的奇函数，积分为0，因此I?
2?2
（椭圆面积）.
（12） 解 应填a?1;
anan1a因为?(n?1)2?2n?1，当且仅当a?1时，limn???，所以a?1.
n??aan?1aan?12（13）解 应填
1A |A|1A. |A|因为(A?1)*A?1?|A?1|E，故(A?1)*?1（14）解 应填
3设A表示两数满足x2?y?x，x,y分别表示随机取出的两个数，则0?x?1,0?y?1，从而
??{(x,y):0?x?1,0?y?1}，A?{(x,y):x2?y?x}，则由几何概率知（可画图表示）
A 的面积P(A)??? 的面积?(01x?x2)dx11? 3（15）解 方程所对应齐次方程y??y?0的通解是y*?Cex，非齐次方程的一个特解是sinx.故此方程的通解是y?Cex?sinx.
由y有界知C?0，从而y(x)?sinx.
dV?2?x?sinxdx.
V?2??xsinxdx?2?2
0?（16）解 f(x)?lnx?ln(3?x)?ln[1?(x?1)]?ln[2?(x?1)]
3
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??ln2??(?1)n?1(x?1)n?(x?1)n?1(x?1)nn?1n??n?ln2??[(?1)n?1?n](0?x?2)
n?1n2n?12n（17）解 由与路径无关条件知
f??(x)?f?(x)?2f(x)?ex
容易看出此方程的一个特解是f*(x)??1ex，故得f(x)?Cx?C1x21e22e?x?2e，
由f(0)?0及f?(0)?1得C211?3,C2??6，从而
f(x)?23e2x?—16e?x?—12ex
这时 f?(1)?43e2?—16e?1?—e2
而
?(1,1)(0,0)[f?(x)?2f(x)?ex]ydx?f?(x)dy??(1,1)(0,0)f??(x)ydx?f?(x)dy
??(1,1)dyf?(x)?yf?(x)(1,1)421e(0,0)(0,0)?f?(1)?3e?6e?1?2 （18） 证 1）令F(x)?fn(x)?1,则 F(0)??1?0,F(1)?n?1?0,(n?2,3?) 又F?(x)?1?2x???nxn?1?0, x?[0,??) 则方程fn(x)?1在[0,??)内有唯一实根。
2）由1）知，x2n?xn???xnn?1，则?xn?递减，又xn?0下有界， 则limn??xn存在，设其为a,等式
xnn(1?xn)a1?x?1 两端取极限得
?1 n1?a则a?12
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旗开得胜 4
【中国农大CAU考研 高数】2010年考研数学冲刺试卷 数学一(卷一)答案
