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2018 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）
本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试
结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分
（选择题 共 40 分）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合 A={(??||??|<2)},B={?2,0,1,2},则 A
B ?
（A）{0,1}
（B）{?1,0,1}
（C）{?2,0,1,2}
D）{?1,0,1,2}
（ （2）在复平面内，复数
1
1 ? i 的共轭复数对应的点位于
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
（3）执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为
（A）
1
2 （）
B5
6
7（D）12
6
（4）设 a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc”是“a,b,c,d 成等比数列”的
（C）
7
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（5）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做
出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，
每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122 .若第一个单音的频率为 f，则第八个单音
的频率为 学科#网 （A） 3 2 f
（B） 3 22 f
（C） 12 25 f
（D） 12 27 f
（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
（A）1
（B）2
（C）3
（D）4
? D? ? H 是圆 x2 ? y 2 ? 1 上的四段弧（如图）（7）在平面直角坐标系中， ?AB，点 P 在其中一段上， , C, EF, G角 ? 以 O 为始边，OP 为终边，若 tan ? ? cos ? ? sin ? ，则 P 所在的圆弧是
（A） ?AB ? （B） CD
（8）设集合 A ? {( x, y) | x ? y ? 1, ax ? y ? 4, x ? ay ? 2}, 则
（C） EF?
（D） GH
?
（A）对任意实数 a， (2,1) ? A
（B）对任意实数 a，（2,1）? A （D）当且仅当 a ?
（C）当且仅当 a<0 时,（2,1）? A
第二部分
3
2
时,（2,1）? A
（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
（9）设向量 a=（1,0），b=（?1,m）,若 a ? (ma ? b) ，则 m=_________.
（10）已知直线 l 过点（1,0）且垂直于??轴，若 l 被抛物线 y 2 ? 4ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐
标为_________.
11
（11）能说明“若 a﹥b，则 ? ”为假命题的一组 a，b 的值依次为_________.
a b
x2 y 2
（12）若双曲线 ? ? 1(a ? 0) 的离心率为
2 a 4
5
，则 a=_________. 2
（13）若??,y 满足 x ? 1 ? y ? 2 x ，则 2y ??的最小值是_________.
c 3
（14）若 △ABC 的面积为 (a 2 ? c2 ? b2 ) ,且∠C 为钝角，则∠B=_________； 的取值范围是_________.
4 a
三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题 13 分）
设 {a } 是等差数列，且 a ? ln 2, a ? a ? 5ln 2 .
n
1
2
3
（Ⅰ）求{a } 的通项公式；
n
（Ⅱ）求 ea1 ? ea2 ? ? ? ean .
（16）（本小题 13 分）
已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3sin x cos x .
（Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期；
? 3
（Ⅱ）若 f ( x) 在区间 [? , m] 上的最大值为 ，求 m 的最小值. 3 2
（17）（本小题 13 分）
电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型
第一类
第二类
第三类
第四类
第五类
第六类
电影部数
140
50
300
200
800
510
好评率
0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 .
（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）随机选取 1 部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；学科%网
（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表
格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加 0.1，哪类电影的好评率减少 0.1，
使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）
（18）（本小题 14 分）
如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F
分别为 AD，PB 的中点.
（Ⅰ）求证：PE⊥BC；
（Ⅱ）求证：平面 PAB⊥平面 PCD；
（Ⅲ）求证：EF∥平面 PCD.
（19）（本小题 13 分）
设函数 f ( x) ? [ax2 ? (3a ? 1)x ? 3a ? 2]ex .
（Ⅰ）若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线斜率为 0，求 a； （Ⅱ）若 f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值，求 a 的取值范围.
（20）（本小题 14 分）
x2 y 2 6
已知椭圆 M : ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ，焦距为 2 2 .斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个
a 2 b2 3
不同的交点 A，B.
（Ⅰ）求椭圆 M 的方程；
（Ⅱ）若 k ? 1 ，求 |AB | 的最大值；
（Ⅲ）设 P(?2,0)
，直线 PA 与椭圆 M 的另一个交点为 C，直线 PB 与椭圆 M 的另一个交点为 D.若 C,D
7 1
和点 Q(? , ) 共线，求 k.
4 4
2018年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文科)(北京卷)(含答案)
