经济应用数学习题
第一章 极限和连续 填空题
1. limsinx?x??x0 ；
2.函数 y?lnx是由 y?u，u?lnv，v?x复合而成的； 3当x?0时，1?cosx是比x高阶的无穷小量。
4. 当x?0 时， 若 sin2x 与 ax是等价无穷小量，则 a?5.
2
2lim(1?)x?x??xe?2
选择题
2x? （ C）
x?05arcsinx1.lim2（A） 0 （B）不存在（C）（D）1
52.f(x)在点x?x0处有定义，是f(x)在x?x0处连续的（A）
（A）必要条件 （B）充分条件 （C）充分必要条件 （D）无关条件
计算题
1.
cosx?1
x?02x2cosx?1?sinx1解：lim＝ lim??2x?0x?02x4x4求极限 lim1411?xxx?x(?4)4lim(1?)lim(1?)?e2.＝ x?0x?044exex?1?lim??1 3.lim2x?02x?1x?0x?x
导数和微分 填空题
u(x)u'(x)v(x)?u(x)v'(x)]? =1若 u(x) 与 v(x) 在x 处可导，则[ 2v(x)[v(x)]2.设f(x)在x0处可导，且f?(x0)?A，则lim代数式表示为
2h?0f(x0?2h)?f(x0?3h)用A的
h5A ；
f(1?2x)?f(1)= ?4e。
x23f(x)?ex，则limx?0解 f'(x)?2xex,limx?0f(1?2x)?f(1)??2f'(1)??4ex
选择题
1. 设f(x) 在点 x0处可导，则下列命题中正确的是 （ A ） （A） lim（C）limf(x)?f(x0)f(x)?f(x0)存在 （B） lim不存在
x?x0x?x0x?x0x?x0x?x0?f(x)?f(x0)f(x)?f(x0)存在 （D）lim不存在
?x?0x?xx?02. 设f(x)在x0处可导，且lim（ D ）
x1?，则f?(x0)等于
f(x0?2x)?f(x0)4（A） 4 （B） –4 （C） 2 （D）–2 3. 3设y?f(x)可导，则 f(x?2h)?f(x) = （ B ）
（A）f?(x)h?o(h) （B） ?2f?(x)h?o(h) （C） ?f?(x)h?o(h) （D） 2f?(x)h?o(h) 4.
f(x)f(x)存在，则lim等于（ B ）
x?0x?0xx1（A）f?(x) （B）f?(0) （C）f(0) （D）f?(0)
2设 f(0)?0 ，且 lim5. 函数 y?ef(x)，则 y\? （ D ） （A）ef(x) （B） ef(x)f\(x)
（C） ef(x)[f'(x)]2（D） ef(x){[f'(x)]2?f\(x)} 6函数 f(x)?(x?1)x的导数为（ D ）
（A）x(x?1)x （B） (x?1)x?1 （C）xxlnx （D） (x?1)x[7函数f(x)?xxx?ln(x?1)] x?1 在 x?0处（ D ）
（A）连续但不可导（B） 连续且可导
（C）极限存在但不连续（D） 不连续也不可导
计算与应用题
1. 设 y?ln(xy) 确定 y 是 x 的函数，求 解： y'?[ln(xy)]'?11(xy)'?(y?xy') xyxyy
x(y?1)dy dxxy?y'?y?xy'y'?2. 2设 ey?ylnx 确定y 是 x的函数，求解：ey?y'?y'?lnx?yxdy dxdyy? dxx(ey?lnx)3. 3求y?e1?3xcosx的微分
解：dy?y'dx?(?3e1?3xcosx?e1?3xsinx)dx??e1?3x(3cosx?sinx)dx
e2x4. 4求y? 的微分；
x2e2xx?e2xe2x(2x?1)e2x(2x?1)?dy?dx 解：y?222xxx'?sinx?eax?1x?0?5设f(x)?? 在(??,??)上连续，求a的值。 x?2ax?0?sinx?eax?1 limf(x)?limx?0x?0x?lim(cosx?aeax)…………………………2分
x?0?1?a………………………………………2分
又
f(x)在(??,??)上连续，即limf(x)?f(0)?2a…………2分
x?0?2a?1?a
?a?1……………………………………………………1分
1?1?x?x??,x?0???1?x???,x?0 （其中k?0) 6设f(x)??a?sinkx?,x?0x??(1) 求f(x)在点x?0的左、右极限；(2) 当a和k取何值时，f(x)在点x?0连续。
（1）limf(x)?lim??x?0x?0sinkx?k…………………2分 x1x1x1?x(1?x)e?1?2limf(x)?lim()?lim??e……2分 1x?0?x?0?1?xx?0?ex(1?x) （
x?0?2）
x?0因为
f(x)在
x?0处连续，满足
limf(x)?limf(x)?f(0)…………2分 ??2 所以k?a?e……………………1分
导数的应用
填空题
1. 设需求函数 Q?p(8?3P)，P为价格，则需求弹性值2. 函数y?x3?3x的单调递减区间是（－1，1） 二．选择题
1.函数y?sinx 在区间 [0, π]上满足罗尔定理的 ξ = （ C ）
（A） 0 （B）
EQEP?P?2?2
?? （C） （D）? 422. 函数y?f(x) 在点 x?x0 处取得极大值，则必有（ D）
（A） f?(x0)?0 （B） f??(x0)?0 （C） f?(x0)?0且f??(x0)?0 （D） f?(x0)?0或不存在
应用题
1已知某商品的需求函数为x =125-5p，成本函数为C(x)=100 + x + x2,若生产的商品都能全部售出。求：(1)使利润最大时的产量；(2) 最大利润时商品需求对价格的弹性及商品的售价。
解（）1L(x)?R(x)?C(x)?px?100?x?x2? ??1.2x2?24x?100 L'(x)??2.4x?24?0?x?10 L\x)??2.4?0,驻点唯一?当x?10时，利润最大。（2）?＝x'px'?,当x?10时,p?23,则?xxx?10125?x?x?100?x?x25
＝23?(?5)??11.510
2.某工厂生产某种产品吨，所需要的成本C(x)?5x?200 （万元）,将其投放市场后，所得到的总收入为 R(x)?10x?0.01x2 （万元）。问该产品生产多少吨时，所获得利润最大， 最大利润是多少？
解：L(x)?R(x)?C(x)=?0.01x2?5x?200，L'(x)??0.02x?5
令L'(x)?0 得 x?250
L\(x)??0.02?0?L\(250)?0
?该产品生产250吨时所获利润最大，最大利润是 L(250)?425（万元）
3.已知某产品的需求函数为P?10?Q，成本函数为C?20?2Q，求产量为5多少时利润最大？并验证是否符合最大利润原则。
Q2?20?2Q 解：L(Q)?R(Q)?C(Q)?P?Q?C(Q)?10Q?52L'(Q)??Q?8，令 L'(Q)?0 得 Q?20
52又 L\(Q)???0 ，所以符合最大利润原则。
54某商店以单价100元购进一批服装，假设该服装的需求函数为Q?400?p（p为销售价格）。（12分）
(1) 求收入函数R(Q)，利润函数L(Q)； (2) 求边际收入函数及边际利润函数；
(3) 销售价格定为多少时，才能获得最大利润，并求出最大利润。 解：(1)p?400?Q，R(Q)?Qp?Q(400?Q)，………………2分
C(Q)?100Q，
L(Q)?R(Q)?C(Q)?Q(400?Q)?100Q?300Q?Q2…………2分 (2) 边际收入函数为R'(Q)?400?2Q………………………1分 边际利润函数为L'(Q)?300?2Q………………………1分
(3) 令L'(Q)?300?2Q?0，得Q?150件。…………………1分
因L(150)??2?0，所以当Q?150时，函数取得极大值， ……1分
因为是唯一的极值点，所以就是最大值点，………………………1分 即p?400?Q?400?150?250元时，可获得最大利润。……………1分
最大利润为L(150)?300Q?Q?22500元。…………………2分
2''第五章
填空题
不定积分
1. 2.?设 ex?sinx 是f(x) 的一个原函数，则f?(x) = ex?sinx；
1dx?xlnxlnlnx?C2
23. 若
?f(x)dx?x?C，则?xf(1?x)dx?x4x??c22；
选择题
1. 设 F?(x)?G?(x)，则 （ B ）
（A）F(x)?G(x)为常数 （B） F(x)?G(x)为常数 （C） F(x)?G(x)?0 （D）
ddF(x)dx?G(x)dx dx?dx?2. 已知函数f(x)的导数是sinx，则f(x)的所有原函数是（B ） （A）cosx （B）?cosx?C（C）sinx （D）sinx?C 3.若?f(x)dx?x2e2x?C ，则 f(x)? （ D ）
（A）2xe2x （B）2x2e2x （C）xe2x（D）2xe2x(1?x) 三计算
1.求不定积分?xe3xdx
11111111原式=?xd(e3x)?xe3x??e3xdx?xe3x???e3xd(3x)=xe3x?e3x?C
333333392.
2.?x?1dx 2x?1解：原式??x11112dx?dx?d(x?1)?dx 2222???x?1x?12x?1x?1?lnx2?1?arctanx?C
3.
求?11?exdx
解：令t?1?ex则x?ln(t2?1)
111211dt??(原式=??2?2tdt??22dt???)dt
tt?1t?1(t?1)(t?1)t?1t?1t?1?C?ln?lnt?1?lnt?1?C?lnt?1ex?1?1e?1?1x?C
4.
求?xlnxdx
111111解：原式??lnxd(x2)?x2lnx??x2?dx?x2lnx?x2?C
222x24定积分
填空题
11.?x3sin2xdx =
?1x0
2.(tsint3dt)???0xsinx3
d3.?f(x)dx = dxab0
bb4设f(x) 在[a,b]上连续，则
???f(x)dx??f(t)dt =
aa0
5
?e1dx?x(lnx)21
6若?(x)?7若?x3?10?1xecost?tdt，则?'(x)??ecosx?x
1。 12f(t)dt?x，则f(7)?解 f(x3?1)3x2?1,?当x?2时，（f7）＝11 128设f?x?是连续函数，且f?x??x?2?f(t)dt,则f?x?? x -1 。
0解设A??0f(t)dt,A??0xdx?2A?A??2A?A??
?f(x)?x?1
111212 选择题
1. 下列积分可直接使用牛顿─莱不尼兹公式的有 （ A ）
x3（A） ?dx （B） 21?x051?1e?x1?x2dx
（C）
4?0x(x?5)232dx （D）
x1dx ?1xlnxe2. 设 f(x)为连续函数，则
?f(t)dt为 （ C ）
a（A）f(t)的一个原函数 （B）f(t) 的所有原函数 （C）f(x)的一个原函数 （D）f(x)的所有原函数
x3.
?0f(t)dt?x211f(x)?，且f(0)?1，则f(x)?（C） 2211（A）e （B）ex （C）e2x （D）e2x
224.
1dx?（ D） 2?x?1（A） -2 （B） 2 （C） 0 （D） 发散
1计算
x21. 1. 求定积分 ?dx 21?x0111?x21解：?＝ (1?)dx?(x?arctanx)?1?dx022?01?x41?x012. 求定积分 解：令t?91dx ?x1x?9x 则 x?t2当x?1时，t?1,当x?9时,t?3
32tdt3113＝?2dt?2ln(t?1)?2ln2 dx1???1t2?t1t?1x1x?53.
1?lnxdx
e5151解：?lnxdx??1(?lnx)dx??1eelnxdx
??(xlnx?x)4.
????11e25?(xlnx?x)1?5ln5??3
e?21dx 2x?1解：
?2bb111limdx ?limdx?dx2??222b???b???(x?1)(x?1)x?1x?1?lim1b111x?1b1b?111(?)dx?limln()?lim[ln()?ln]?ln3 2b???2?2x?1x?12b???x?12b???b?1325求函数f(x)??x20(2?t)e?tdt在(??,??)的最大和最小值.
解因f(x)为偶函数，则只需求f(x)在[0，+?）的最值. 令f'(x)?2x2(2?x2)e?x?0，则得驻点为x?2.
且当0?x?2时，f'(x)?0, 当x?2时, f'(x)?0，
故x?2为f(x)在[0，+?]的极大值点，也是最大值点，且
2maxf(x)?f(2)??(2?t)e?tdt??(2?t)e?t0220－?20e?tdt?1?e?2
f(x)??(2?t)e?tdt??(2?t)e?t而f(??)?xlim0???f(0)?0
????0??e?tdt?1
0??所以minf(x)?f(0)?0.
多元函数微分学及其应用
填空题
1. 若Z?exy?yx2，则?Z?xexy?x2
?y2. 已知f(x,y)=exy,则2fx'(x,y)?2xyexy
2二元函数Z?xexy全微分dZ?exy(1?xy)dx?x2exydy ；
3. 二元函数Z?exy全微分dZx?1,y?0?dy
选择题
1. 设函数z?ln(xy)，则（A）
?z等于（ C ） ?x1x1y （B） (C)(D) yyxx?Z等于（ D ） ?x2. 设Z?sin(xy2),则
（A）xycos(xy2) （B）?xycos(xy2) (C)?y2cos(xy2)(D)y2cos(xy2) 3. 设Z?3xy，则
?Z= （ D） ?x（A）y3xy （B）3xyln3 （C）xy3xy?1 （D） y3xyln3 计算与应用题
1. 设Z?Z(x,y)由方程eZ?x2y?lnZ?0确定，求dZ 解：令F(x,y,Z)?eZ?x2y?lnZ?0
?F?F?F1?x2?2xy?eZ? ?y?x?ZZFy'Fx'?Z?x2x2Z?Z?2xy?2xyZ??'????'?? ， ?yFZeZ?1ZeZ?1?xFZeZ?1ZeZ?1ZZ?2xyZ?x2ZdZ?Zdx?Zdy
Ze?1Ze?12.
?2Z设Z?xln(x?y),求2,?x?2Z ?x?y?2Z?Zx1x?y?xx?2y解： ?[ln(x?y)?]???222?xx?yx?y(x?y)?x(x?y)?2Z?Zx1xy ?[ln(x?y)?]????x?y?yx?yx?y(x?y)2(x?y)23. 设Z?lnx2?y2,求偏导数 解：
?Z??x?Z??y1x2?y22x2?y21?2y?2x?x
x2?y2x2?y22x2?y2?y 22x?y4计算二重积分
??(x?6y)dxdy，其中D是由y?x,y?5x,x?1
D所围成的区域。
解：??(x?6y)dxdy??dx?yy?5xD015xx(x?6y)dy
y?x??76x2dx?01763176x0? 33 0
1x5.求积分
?10dy?1?y03xy2dx
解：
?y10dy?1?y03331113xydx??(y2?y3)dy?(y3?y4)1 ?0022234821其中D由曲线y?x2,x?1,x轴围成 6.计算二重积分??(x?y)d?，D
y?x2 解：??(x?y)d???dx?D01x2o(x?y)dy
??101117 (x3?x4)dx?(x4?x5)1?0241020
01x
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