高中数学第三章圆锥曲线与方程1椭圆1.1椭圆及其标准
方程课时跟踪训练北师大版选修21121418
[A组 基础巩固]
1．若椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为( )
259A．5 C．4
B．6 D．1
x2y2
解析：由椭圆的定义知a＝5，点P到两个焦点的距离之和为2a＝10.因为点P到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为10－5＝5，故选A.
答案：A
2．已知△ABC的两个顶点的坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为( )
A.C.
＋＝1 259
＋＝1(y≠0) 169
x2x2
y2y2
B.D.
＋＝1(y≠0) 259
＋＝1(y≠0) 259
y2x2
x2y2
解析：顶点C到两个定点A，B的距离和为18－8＝10>8，由椭圆的定义可得轨迹方程． 答案：D
3．已知椭圆的焦点F1(－1,0)，F2(1,0)，P是椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆的标准方程为( )
A.
＋＝1 169
x2y2
B.
＋＝1 1612
x2y2
C.＋＝1 43
x2y2
D.＋＝1 34
x2y2
解析：∵F1(－1,0)，F2(1,0)，∴|F1F2|＝2，又∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项．∴|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，即2a＝4.又c＝1，∴b＝3.∴椭圆的标准方程为＋＝1.
43
答案：C
4．“5 7－mm－5A．充要条件 B．充分不必要条件 2 x2y2 x2y2 - 1 - C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7－m>0??xy解析：若方程＋＝1表示椭圆，则?m－5>0 7－mm－5 ??7－m≠m－5 2 2 ， 解得5 答案：C 5．已知P是椭圆＋＝1上一点，点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1交椭 10036圆于另一点A，则△PAF2的周长为( ) A．10 C．20 B．16 D．40 x2y2 x2y2 解析：设△PAF2的周长为l，则l＝|PA|＋|PF2|＋|AF2|＝(|PF1|＋|PF2|)＋(|AF1|＋|AF2|)＝2×10＋2×10＝40. 答案：D 6．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________． 解析：由已知，2a＝8,2c＝215，∴a＝4，c＝15， ∴b＝a－c＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为＋x＝1. 16答案：＋x＝1 16 2 2 2 y2 2 y2 2 x2y2 7．若方程2－＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则a的取值范围是________；若该方程表 aa示焦点在x轴上的椭圆，则a的取值范围是________． x2y22 解析：方程变形为2＋＝1，当焦点在y轴上时，有－a>a，所以－1 轴上时，有? ?－a>0，? 2 所以a<－1. 答案：－1 8．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠92 x2y2 F1PF2的大小为________． 解析：由椭圆标准方程得a＝3，b＝2，则c＝a－b＝7，|F1F2|＝2c＝27.由椭圆 - 1 - 2 2 的定义得|PF2|＝2a－|PF1|＝2.在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝|PF1|＋|PF2|－|F1F2|4＋2－?27?1 ＝＝－，所以∠F1PF2＝120°. 2|PF1|·|PF2|2×4×22 答案：2 120° 9．写出适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，且过点(1，23)和(2,0)，求椭圆的方程． (2)焦点在x轴上，焦距是4，且经过点M(3，－26)． 2 2 2 2 2 2 x2y2 解析：(1)由焦点在y轴上，故设椭圆方程为2＋2＝1. ba112??b＋a＝1， 3)和(2,0)在椭圆上，∴?40 ??b＋a＝1， 2 2 2 2 ∵点(1,2 ??a＝16， 解得?2 ?b＝4.? 2 故所求的椭圆方程为＋＝1. 416 (2)由焦点在x轴上，焦距是4，得焦点坐标为(－2,0)，(2,0)，且c＝2.因为椭圆的焦 x2y2 x2y2 点在x轴上，所以设它的标准方程为2＋2＝1(a＞b＞0)．由椭圆的定义知 ab2a＝?3＋2?＋?－26?＋?3－2?＋?－26?＝12，所以a＝6.所以b＝a－c＝36－4＝32. 因此，所求椭圆的标准方程为＋＝1. 3632 10．如图所示，已知椭圆的两焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|. 2 2 2 2 2 2 2 x2y2 (1)求该椭圆的方程； (2)若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积． 解析：(1)由已知得c＝1，|F1F2|＝2， 所以4＝|PF1|＋|PF2|＝2a，所以a＝2， 所以b＝a－c＝4－1＝3， 所以椭圆的方程为＋＝1. 43 (2)在△PF1F2中，|PF2|＝2a－|PF1|＝4－|PF1|. - 1 - 2 2 2 x2y2
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