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高中数学必修常考题型一元二次不等式及其解法

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一元二次不等式及其解法

【知识梳理】

1.一元二次不等式

我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,即形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式.

2.一元二次不等式的解与解集

使一元二次不等式成立的x的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集.

3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表 判别式Δ=b2-4ac 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 ax2+bx+c<0(a>0)的解集 b???x|x≠-? 2a??? R Δ>0 有两相异实根x1,x2,(x1<x2) Δ=0 有两相等实根x1=x2b=- 2a没有实数根 Δ<0 {x|xx2} {x|x1

【例1】 解下列不等式: (1)2x2+7x+3>0; (2)x2-4x-5≤0; 81

(3)-4x2+18x-≥0;

41

(4)-x2+3x-5>0;

2(5)-2x2+3x-2<0.

[解] (1)因为Δ=72-4×2×3=25>0,所以方程2x2+7x+3=0有两个不等实根x1=-3,11

x2=-.又二次函数y=2x2+7x+3的图象开口向上,所以原不等式的解集为{x|x>-,或x<

22

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-3}.

(2)原不等式可化为(x-5)(x+1)≤0,所以原不等式的解集为{x|-1≤x≤5}. 99??

2x-?2≤0,所以原不等式的解集为?x|x=?. (3)原不等式可化为?2?4?

?

?

(4)原不等式可化为x2-6x+10<0,Δ=(-6)2-40=-4<0,所以方程x2-6x+10=0无实根,又二次函数y=x2-6x+10的图象开口向上,所以原不等式的解集为?.

(5)原不等式可化为2x2-3x+2>0,因为Δ=9-4×2×2=-7<0,所以方程2x2-3x+2=0无实根,又二次函数y=2x2-3x+2的图象开口向上,所以原不等式的解集为R.

【类题通法】

解一元二次不等式的一般步骤

(1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零; (2)计算对应方程的判别式;

(3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实根; (4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集. 【对点训练】 1.解下列不等式:

(1)x2-5x-6>0;(2)-x2+7x>6.

(3)(2-x)(x+3)<0;(4)4(2x2-2x+1)>x(4-x). 解:(1)方程x2-5x-6=0的两根为x1=-1, x2=6.

结合二次函数y=x2-5x-6的图象知,原不等式的解集为{x|x<-1或x>6}. (2)原不等式可化为x2-7x+6<0. 解方程x2-7x+6=0得,x1=1,x2=6.

结合二次函数y=x2-7x+6的图象知,原不等式的解集为 {x|1

(3)原不等式可化为(x-2)(x+3)>0.

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方程(x-2)(x+3)=0两根为2和-3.

结合二次函数y=(x-2)(x+3)的图象知,原不等式的解集为{x|x<-3或x>2}. (4)由原不等式得8x2-8x+4>4x-x2. ∴原不等式等价于9x2-12x+4>0. 2

解方程9x2-12x+4=0,得x1=x2=. 3

2

结合二次函数y=9x2-12x+4的图象知,原不等式的解集为{x|x≠}.

3

题型二、解含参数的一元二次不等式

【例2】 解关于x的不等式x2+(1-a)x-a<0.

[解] 方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a,函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,则当a<-1时,原不等式解集为{x|a<x<-1};

当a=-1时,原不等式解集为?;

当a>-1时,原不等式解集为{x|-1<x<a}. 【类题通法】

解含参数的一元二次不等式时:

(1)若二次项系数含有参数,则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论; (2)若求对应一元二次方程的根需用公式,则应对判别式Δ进行讨论; (3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论. 【对点训练】

2.解关于x的不等式:ax2-(a-1)x-1<0(a∈R). 解:原不等式可化为: (ax+1)(x-1)<0, 当a=0时,x<1, 1

x+?(x-1)<0 当a>0时??a?1

∴-<x<1.

a

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当a=-1时,x≠1,

1

x+?(x-1)>0, 当-1<a<0时,??a?1

∴x>-或x<1.

a1

当a<-1时,-<1,

a1

∴x>1或x<-,

a综上原不等式的解集是: 当a=0时,{x|x<1}; 1??

当a>0时,?x|-a<x<1?;

?

?

当a=-1时,{x|x≠1}; 当-1<a<0时, 1??

?x|x<1或x>-?.

a??

1??

当a<-1时,?x|x<-a或x>1?,

?

?

题型三、一元二次不等式与相应函数、方程的关系

【例3】 已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|1<x<2},求关于x的不等式bx2

+ax+1>0的解集.

[解] ∵x2+ax+b<0的解集为{x|1<x<2}, ∴1,2是x2+ax+b=0的两根.

??-a=1+2,由韦达定理有?

?b=1×2,???a=-3,

得? ?b=2,?

代入所求不等式,得2x2-3x+1>0.

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1

由2x2-3x+1>0?(2x-1)(x-1)>0?x<或x>1.

21

-∞,?∪(1,+∞). ∴bx2+ax+1>0的解集为?2??【类题通法】

1.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,也是函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标.

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分,是由不等式ax2+bx+c>0的x的值构成的;图象在x轴下方的部分,是由不等式ax2+bx+c<0的x的值构成的,三者之间相互依存、相互转化.

【对点训练】

1

3.已知方程ax2+bx+2=0的两根为-和2.

2(1)求a、b的值;

(2)解不等式ax2+bx-1>0.

1

解:(1)∵方程ax2+bx+2=0的两根为-和2,

2

?

由根与系数的关系,得?12

-×2=?2a.

解得a=-2,b=3.

1b-+2=-,2a

(2)由(1)知,ax2+bx-1>0可变为-2x2+3x-1>0, 1

即2x2-3x+1<0,解得<x<1.

2

1

∴不等式ax2+bx-1>0的解集为{x|<x<1}.

2

【练习反馈】

1.不等式x(2-x)>0的解集为( ) A.{x|x>0} C.{x|x>2或x<0}

B.{x|x<2} D.{x|0<x<2}

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