考查三角函数的恒等变换和余弦函数的值域，主要考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．
16．在四楼锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PA＝PD，∠APD＝90°，平面PAD⊥平面ABCD，Q点是△PBC内的一个动点（含边界），且满足DQ⊥AC，则Q点所形成的轨迹长度是 2√5 ． 3【分析】利用已知条件，通过直线与平面垂直，推出Q的轨迹，利用转化思想，求解距离即可．
解：根据题意，连接AC，BD，两直线交于点O，取PC上一点M，连接MB，MD，如图：
若满足题意DQ⊥AC，又AC⊥BD，故AC⊥平面DBQ，则点Q只要在平面DBQ与平面PBC的交线上即可，
假设如图所示，平面DBM与平面DBQ是同一个平面， 则Q点的轨迹就是线段BM，
根据假设，此时直线AC⊥平面DBM，则AC⊥MO， 故三角形PAD是等腰直角三角形， 三角形BAD是等边三角形，故AD⊥PB，
又因为BC∥AD，故BC⊥PB，故三角形PBC为直角三角形， 故PC=√??????+??????=2√??，
在三角形PAC中，PA=√??，AC＝2√??，PC＝2√??，
由余弦定理可得：cos∠PCA=
8+12?23√6=8，
2×2√3×2√2????
√3在菱形ABCD中，OC=√??，故在直角三角形MOC中，MC=??????∠??????=
3√68=3，
4√2）3
4√2在三角形BCM中，∠PCB＝45°，故BM2＝BC2+CM2﹣2BC×CM×cos∠PCB＝22+（
2
√√
﹣2×2×42×2=20，
329√√
故得BM=20=25．
33
【点评】本题考查空间图形的应用，涉及直线与平面的位置关系，轨迹长度的求解，是难题．
三、解答题：共70分．解箐应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作簀．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．
B、C所对的边长分别为a、b、c，17．设△ABC的内角A、满足??????????????????+??????????????????=??且a＞b．
（1）求角B的大小；
（2）若b＝1，BC边上的中线AM的长为a，求△ABC的面积．
21
1
2【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解B； （2）由已知结合向量数量积的性质即可求解． 解：（1）因为??????????????????+??????????????????=??，
2由正弦定理可得，sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，
因为sinB≠0，所以sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB=， 因为a＞b，所以B为锐角，故B=6，
（2）由题意可知，2????=????+????，|????|＝a， 两边同时平方可得，4??????=a2＝b2+c2+2bccos∠BAC， 又由余弦定理可得，a2＝b2+c2﹣2bccosA， 故cosA＝0 因为A∈（0，π）， 所以A＝90°，
√
所以b＝1，c=√??，S△ABC=1????=3．
→→
→
→
→
1
1212??
22【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及向量数量积的性质的综合
应用，属于中档试题．
18．在四棱锥P﹣ABCD中，BC＝BD＝DC=??√??，AD＝AB＝PD＝PB＝2，PA=√??． （1）求证：平面PBD⊥平面ABCD； （2）求二面角C﹣PD﹣B的余弦值．
【分析】（1）连结AC，交BD于O，连结PO，推导出PO⊥OA，PO⊥BD，从而PO⊥平面ABCD，由此能证明平面PBD⊥平面ABCD．
（2）以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣PD﹣B的余弦值．
【解答】（1）证明：连结AC，交BD于O，连结PO， 由对称性知O为BD中点，且AC⊥BD，PO⊥BD， 又△PBD≌△ABD，AO⊥BD，从而PO＝AO＝1， 又PA=√??，由PO2+OA2＝PA2，∴PO⊥OA， PO⊥BD，OA∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD， ∵PO?平面PBD，∴平面PBD⊥平面ABCD． （2）解：由（1）知，PO，BD，AC两两垂直，
以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，?√??，0），P（0，0，1），在等腰△BCD中，CO＝3，则C（3，0，0）， ????=（3，√??，0），????=（0，√??，1）， 平面PBD的法向量??=（1，0，0）， 设平面PCD的法向量??=（x，y，z），
???????=????+√????=??→则{→→，取x＝1，得??=（1，?√??，3）， ???????=√????+??=??设二面角C﹣PD﹣B的平面角为θ，
√13|?????|
∴cosθ=→→=13．
|??|?|??|
→
→
→→
→
→
→→
∴二面角C﹣PD﹣B的余弦值为
√13． 13
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．已知椭圆
??2??2+
??2??2√
=??(??＞??＞??)的离心率为．点(??，√??)在椭圆C上．
2
3（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点P（0，﹣2）任作椭圆C的两条相互垂直的弦AB、CD，设M、N分别是AB、CD的中点，则直线MN是否过定点？若过，求出该定点坐标；若不过，请说明理由． =
2 ??【分析】（1））由已知得4+2=??，解得a2，b2，进而可得椭圆C的方程．
??2??2 ??
{??=????+????（2）设直线AB的方程为y＝kx﹣2（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线AB与椭圆方程，得（1+4k2）x2﹣16kx+4＝0，结合韦达定理，中点坐标公式得M（?
21+4??
252），同理
??√38??
1+4??2，
N（
?8??
??2+4
，?
2??
22
??+4
），进而得直线MN斜率，和方程，令x＝0，得
y=?，即可得出答案．
=
222 ??????22
b＝3，解：（1）由已知得4+2=??，解得a＝12，所以椭圆C的方程为+=??．
22 ??123 ??????
{??=??+????（2）由题意知直线AB，CD的斜率存在且不为0，
设直线AB的方程为y＝kx﹣2（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）， ??=???????由{??2??2得（1+4k2）x2﹣16kx+4＝0，
+3=??12由△＞0得k2＞即M（
8??
??1+??2216??8??1=?==xykx2，且x1+x2=，所以，＝﹣MMM2， 222121+4??1+4??1+4??
21+4??
2），同理N（
??√31+4??2
，?
?8??
??2+4
，?
2??
22
??+4
），
所以kMN=
22??
?2+21+4????+48??8??2+21+4????+4
2
???1，
=
5??2
2
28?????1?x所以直线MN的方程为y+（=2）， 25??1+4??1+4??2
由对称性可知定点必在y轴上，令x＝0，得y=???1（0?
8??1+4??
5??2）?
21+4??
2=?5，
2
所以直线MN过定点（0，?）．
【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，属于中档题．
20．近年来．我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患．目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写为BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是??????=
2身高(单位：??2)体重(单位：????)
25中国成人的BMI数值标准为：BMI≤18.4为偏瘦；18.5≤BMI≤23.9为正常；24≤BMI≤27.9为偏胖；BMI＞28为肥胖．
为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工（编号1～8）的身高x（cm）和体重y（kg）数据，并计算得到他们的BMI值（精确到0.1）如表： 编号 身高（cm） 体重（kg）BMI（近似值）
（I）现从这8名员工中选取2人进行复检，记抽取到BMI值为“正常”员工的人数为X．求X的分布列及数学期望．
（II）某调查机构分析发现公司员工的身高x（cm）和体重y（kg）之间有较强的线性相关关系，在编号为6的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出
该组数据的线性回归方程为??=0.5x+??，且根据回归方程预估一名身高为180cm的员工
1 164 60 22.3
2 176 72 23.2
3 165 77 28.3
4 163 54 20.3
5 170 ● 23.5
6 172 ● 23.7
7 168 72 25.5
8 182 55 16.6
体重为71kg．计算得到的其他数据如下??=??????，∑????=?? ????????=??????????． （1）求??的值及表格中8名员工体重的平均值??；
2020年湖北省华大新高考联盟名校高考(理科)数学(5月份)模拟试卷 (解析版)
