激光原理 第六版 天津理工大学理学院
因此，只要选择小孔阑的边长满足0.7mm?2a?0.83mm即可实现TEM00模单模振荡。
8．试求出方形镜共焦腔面上TEM30模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？ 解：在厄米-高斯近似下，共焦腔面上的TEM30模的场分布可以写成
令X??v30(x,y)?C30H3???2???(L?/?)x?e I?L??x?y222?/(L?)x，则I式可以写成
v30(x,y)?C30H3?X?e?x?y22(L?/?)
式中H3?X?为厄米多项式，其值为
H3?X??8X-12X
3由于厄米多项式的零点就是场的节点位置，于是令H3?X??0，得
X1?0;X2?3/2;X3??3/2 考虑到?0s?
L?/?，于是可以得到镜面上的节点位置
x1?0;x2?32?0s;x3??32?0s
所以，TEM30模在腔面上有三条节线，其x坐标位置分别在0和?3?0s/2处，节线之间位置是等间距分布的，其间距为3?0s/2；而沿y方向没有节线分布。 9. 求圆形镜共焦腔TEM20和TEM02模在镜面上光斑的节线位置。
解：在拉盖尔—高斯近似下，可以写成如下的形式
?mn?2r?r,???Cmn????0smn??2r?Ln?m?2??0s??m2??e???r22?0s?cosm? ??sinm?对于TEM义
，两个三角函数因子可以任意选择，但是当m为零时，只能选余弦，否则无意
?2r对于TEM20：?20?r,???C20????0s?2?2r?L0???2??0s?22??e???r22?0s?cos2? ?sin2???2r2并且L???2?0s20???1，代入上式，得到 ?? 6
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?20?r,???C20??2r???0s??e??2?r22?0s?cos2?， ??sin2???e??2?r22?2r取余弦项，根据题中所要求的结果，我们取?20?r,???C20????0s?0scos2??0，就能
求出镜面上节线的位置。即
cos2??0??1??4,?2?3?4
同理，对于TEM02，
?0?2r?L2???2??0s?02?2r?02?r,???C02????0s??e???r22?0s?2r?C02L?2???0s022??e???r22?0s
?2r2L?2???0s0224?4r2r??1??4，代入上式并使光波场为零，得到 2??0s?0s?0r22?02?r,???C02??2r???0s?????4r2r?1??24??0s?0s?24??e????0s?0
?2r2显然，只要L???2?0s0224?4r2r??1??4?0即满足上式 2???0s0s?镜面上节线圆的半径分别为： r1?1?22?0s,r2?1?22?0s
10. 今有一球面腔，R1?1.5m，R2??1m，L?80cm。试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数；在图上画出等价共焦腔的具体位置。
解：该球面腔的g参数为
g1?1?LR1?715g2?1?LR2?1.8由此，g1g2?0.85，满足谐振腔的稳定性条件0?g1g2?1，因此，该腔为稳定腔。 由稳定腔与共焦腔等价条件
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??R1??(z1???? ?R2??(z2???L?z?z21???f2z1f2)?L??L?) 和0??1?1?????1 z2R1??R2??可得两反射镜距离等效共焦腔中心O点的距离和等价共焦腔的焦距分别为
根据计算得到的数据，在下图中画出了等价共焦腔的具体位置。
16．某高斯光束腰斑大小为?0=1.14mm，?=10.6μm。求与束腰相距30cm、10m、1000m远处的光斑半径?及波前曲率半径R。
解：入射高斯光束的共焦参数
根据 求得：
?(z)=?0R(z)?z?Lz1??1.31m z2??0.51m f?0.50m等价共焦腔R1R2z2z1Offf???0?22?0.385m?z?1????f?fz2z ?(z) R(z) 30cm 1.45mm 0.79m 10m 1000m 2.97cm 2.96m 10.0m 1000m 8
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17．若已知某高斯光束之?0=0.3mm，?=632.8nm。求束腰处的q参数值，与束腰相距30cm处的q参数值，以及在与束腰相距无限远处的q值。
解：入射高斯光束的共焦参数
根据q(z)?z?q0?z?if，可得 束腰处的q参数为：q(0)?44.7icm
与束腰相距30cm处的q参数为：q(30)?(30?44.7i)cm 与束腰相距无穷远处的q参数为：Re(q)??,Im(q)?44.7cm
21．某高斯光束?0=1.2mm，?=10.6μm。今用F=2cm的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为10m、1m、10cm、0时，求焦斑的大小和位置，并分析所得的结果。
解：入射高斯光束的共焦参数
设入射高斯光束的q参数为q1，像高斯光束的q参数为q2，根据ABCD法则可知
1q1?1q2?1Ff???0?2?44.7cmf???0?2?0.427m
其中 q1?l?if l和f分别为入射高斯光束的焦斑位置和共焦参数；q2??l??if?
l?和f?分别为像高斯光束的焦斑位置和共焦参数。f???0?2 f?????02?
q2?Fq1F?q1 利用以上关系可得
l l? 10m 2.00cm 2.40μm 1m 2.08cm 22.5μm 10cm 2.01cm 55.3μm 0 2.00cm 56.2μm ?0? 从上面的结果可以看出，由于f远大于F，所以此时透镜一定具有一定的聚焦作用，并且不论入射光束的束腰在何处，出射光束的束腰都在透镜的焦平面上。
'22．CO2激光器输出光?=10.6μm，?0=3mm，用一F=2cm的凸透镜距角，求欲得到?0=20μm及
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2.5μm时透镜应放在什么位置。
解：入射高斯光束的共焦参数
f???0?2?2.67m设入射高斯光束的q参数为q1，像高斯光束的q参数为q2，根据ABCD法则可知
1q1?1q2?1F
其中 q1?l?if l和f分别为入射高斯光束的焦斑位置和共焦参数；q2??l??if?
l?和f?分别为像高斯光束的焦斑位置和共焦参数。f???0?2 f?????02?
q2?Fq1F?q1 利用以上关系可得
?0??20μm时，l?1.39m，即将透镜放在距束腰1.39m处；
?0??2.5μm时，l?23.87m，即将透镜放在距束腰23.87m处。 23．如图2.6光学系统，如射光?=10.6μm，求?0及l3。
图2.2
解：先求经过一个透镜的作用之后的束腰半径及位置 由于l1?F1，所以
l1??F1=2cm
\F1?2cmF2?5cm?0?3mm'?0''?0l1?2cml2?15cml3
?0?????0F?22.49μm10
激光原理第二章答案
