素养等级测评三
一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知f(x)＝－3x＋2，则f(2x＋1)等于( B ) A．－3x＋2 C．2x＋1
B．－6x－1 D．－6x＋5
解析：在f(x)＝－3x＋2中，用2x＋1替换x，可得f(2x＋1)＝－3(2x＋1)＋2＝－6x－3＋2＝－6x－1.
2－x2．函数y＝2的定义域为( B )
2x－3x－2A．(－∞，2]
1??1??B．?－∞，－?∪?－，2? 2??2??1??1??C．?－∞，－?∪?－，2? 2??2??D．(－∞，1]
??2－x≥0，
解析：若使函数有意义，则?2
?2x－3x－2≠0，?
x≤2，??
由此可得?1
x≠2且x≠－.?2?
所以，函
1??1??数的定义域为?－∞，－?∪?－，2?.故选B．
2??2??
3．如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，则当点P沿着路径
A—B—C—M(不包含A，M点)运动时，△APM的面积y关于点P经过的路程x的函数y＝f(x)
的图像的大致形状为( A )
??31
解析：根据题意，得y＝f(x)＝?－x，1≤x<2，
4451??4－2x，2≤x<2.5，
1
x，0 其图像如图所示，故选A． ??－xx≤0， 4．设函数f(x)＝?2 ?xx>0.? 若f(a)＝4，则实数a等于( B ) B．－4或2 D．－2或2 A．－4或－2 C．－2或4 2 解析：当a>0时，有a＝4，∴a＝2；当a≤0时，有－a＝4，∴a＝－4.因此a＝－4或a＝2. 5．已知二次函数f(x)＝x－(m－1)x＋2m在[0,1]上有且只有一个零点，则实数m的取值范围为( D ) A．(－2,0) C．[－2,0) 2 2 B．(－2,0] D．[－2,0] 解析：当方程x－(m－1)x＋2m＝0在[0,1]上有两个相等的实数根时， Δ＝m－1－8m＝0，?? 有?m－1 0≤≤1，?2? 2 2 此时无解． 当方程x－(m－1)x＋2m＝0有两个不相等的实数根时，分下列三种情况讨论． ①有且只有一根在[0,1]上时，有f(0)·f(1)＜0， 即2m(m＋2)＜0，解得－2＜m＜0； ②当f(0)＝0时，m＝0，方程化为x＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1，满足题意； ③当f(1)＝0时，m＝－2，方程可化为x＋3x－4＝0，解得x1＝1，x2＝－4，满足题意． 综上所述，实数m的取值范围为[－2,0]． 故选D． 1 6．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)等于( C ) 2A．0 5C． 2 B．1 D．5 2 2 解析：令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(2)．∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，∴f(1) 1113 ＝－f(1)＋f(2)，∴＝－＋f(2)，∴f(2)＝1.令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝＋1＝.令 2222 x＝3，得f(5)＝f(2)＋f(3)＝. 7．已知定义在R上的奇函数f(x)，在[0，＋∞)上单调递减，且f(2－a)＋f(1－a)＜0，则实数a的取值范围是( D ) 5 2 ?3?A．?，2? ?2??3?C．?1，? ?2? ?3?B．?，＋∞? ?2? 3??D．?－∞，? 2?? 解析：∵f(x)在[0，＋∞)上单调递减且f(x)为奇函数， ∴f(x)在(－∞，0)上单调递减，从而f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴f(2－a)＜f(a3 －1)，∴2－a＞a－1，∴a＜，故选D． 2 8．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4等于( C ) A．－6 C．－8 B．6 D．8 解析：f(x)在R上是奇函数，所以f(x－4)＝－f(x)＝f(－x)，故f(x)关于x＝－2对称， f(x)＝m的根关于x＝－2对称，∴x1＋x2＋x3＋x4＝4×(－2)＝－8. 二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分) 9．下列各组函数表示的是同一个函数的是( BD ) A．f(x)＝－2x与g(x)＝x·－2x B．f(x)＝|x|与g(x)＝x C．f(x)＝x＋1与g(x)＝x＋x D．f(x)＝与g(x)＝x 解析：对于A，f(x)＝－2x与g(x)＝x·－2x的对应关系不同，故f(x)与g(x)表示的不是同一个函数； 对于B，f(x)＝|x|与g(x)＝x的定义域和对应关系均相同，故f(x)与g(x)表示的是同一个函数； 对于C，f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠0}，故f(x)与g(x)表示的不是同一个函数； 对于D，f(x)＝与g(x)＝x的对应关系和定义域均相同，故f(x)与g(x)表示的是同一个函数． 23023 xx0 xx0 10．下列函数既是定义域上的减函数又是奇函数的是( BD ) 1 A．f(x)＝ xB．f(x)＝－x 3 D．f(x)＝－x 3 C．f(x)＝x|x| 1 解析：A．f(x)＝在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是奇函数，且在每一个区间上是减 x函数，不能说函数在定义域上是减函数，∴不满足题意；对于B，f(x)＝－x在定义域R上是 ??x，x≥0， 奇函数，且是减函数，∴满足题意，对于C，f(x)＝x|x|＝?2 ??－x，x＜0 2 3 在定义域R上是奇 3 函数，且是增函数，∴不满足题意；对于D，f(x)＝－x在定义域R上是奇函数，且是减函数，∴满足题意．故选BD． 11．已知函数f(x)＝1－x＋x＋3，则( ABD ) A．f(x)的定义域为[－3,1] C．f(x)的最大值为8 B．f(x)为非奇非偶函数 D．f(x)的最小值为2 2 2 解析：由题设可得函数的定义域为[－3,1]，f (x)＝4＋2×－x－2x＋3＝4＋2×4－ x＋1 2 ，而0≤4－x＋1 2 ≤2，即4≤f (x)≤8，∵f(x)＞0，∴2≤f(x)≤22， 2 ∴f(x)的最大值为22，最小值为2，故选ABD． 12．下列说法正确的是( AD ) A．若方程x＋(a－3)x＋a＝0有一个正实根，一个负实根，则a＜0 B．函数f(x)＝x－1＋1－x是偶函数，但不是奇函数 C．若函数f(x)的值域是[－2,2]，则函数f(x＋1)的值域为[－3,1] D．曲线y＝|3－x|和直线y＝a(a∈R)的公共点个数是m，则m的值不可能是1 解析：设方程x＋(a－3)x＋a＝0的两根分别为x1，x2，则x1·x2＝a<0，故A正确；函数 ??x－1≥0，22 f(x)＝x－1＋1－x的定义域为?2 ?1－x≥0，? 2 2 22 2 2 则x＝±1，∴f(x)＝0，所以函数f(x)既是 奇函数又是偶函数，故B不正确；函数f(x＋1)的值域与函数f(x)的值域相同，故C不正确；曲线y＝|3－x|的图像如图，由图知曲线y＝|3－x|和直线y＝a的公共点个数可能是2,3或4，故D正确． 2 2 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上) a??，x≥1. 13．若f(x)＝?x??－x＋3a，x＜1 __. ?1?是R上的单调函数，则实数a的取值范围是__?，＋∞? ?2? 解析：∵f(x)＝－x＋3a在x∈(－∞，1)上是单调递减的，且f(x)在R上是单调函数，∴f(x)在R上一定单调递减， ??a＞0， ∴???a≤－1＋3a， 1?1?解得a≥.∴a∈?，＋∞?. 2?2? 1－x14．函数f(x)＝的定义域为__(－∞，－1)∪(－1，＋∞)__，单调递减区间为__(－ 1＋x∞，－1)和(－1，＋∞)__. 解析：函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．任取x1，x2∈(－1，＋∞)且x1 ＜x2，则f(x1)－f(x2)＝ 2x2－x1 ＞0，即f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(－1，＋∞)上 1＋x11＋x2 为减函数；同理，可得f(x)在(－∞，－1)上也为减函数． 15．函数y＝f(x)是R上的增函数，且y＝f(x)的图像经过点A(－2，－3)和B(1,3)，则 ?1?不等式|f(2x－1)|<3的解集为__?－，1?__. ?2? 解析：因为y＝f(x)的图像经过点A(－2，－3)和B(1,3)，所以f(－2)＝－3，f(1)＝3.又|f(2x－1)|<3，所以－3 ??2x－1>－2， 上的增函数，所以－2<2x－1<1，即? ?2x－1<1，? 1??x>－， 2即???x<1， 1 所以－ 2 16．对于任意定义在R上的函数f(x)，若实数x0满足f(x0)＝x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点．现给定一个实数a∈(4,5)，则函数f(x)＝x＋ax＋1的不动点共有__2__个． 解析：由定义，令x＋ax＋1＝x，则x＋(a－1)x＋1＝0，当a∈(4,5)时，Δ＝(a－1)－4>0，所以方程有两根，相应地，函数f(x)＝x＋ax＋1(a∈(4,5))有2个不动点． 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知函数f(x)＝(1)求函数的定义域； (2)试判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并给予证明； (3)求函数在[3,5]上的最大值和最小值． 2x－1 解：(1)∵函数f(x)＝，x＋1≠0，∴x≠－1.∴函数的定义域是{x|x≠－1}． x＋1(2)函数f(x)在(－1，＋∞)上是增函数． 2x－13 证明如下：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1 x＋1x＋1 2x－1 . x＋1 2 2 2 2 2
2020_2021学年新教材高中数学素养等级测评第三章函数课时作业含解析人教B版必修一
