课时达标检测(二十四） 解三角形的实际应用
[练基础小题——强化运算能力]
1.如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的南偏西________．
解析：由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
答案：80°
2．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC＝________m.
tan 60°－tan 45°
解析：∵tan 15°＝tan(60°－45°)＝＝2－3，
1＋tan 60°tan 45°∴BC＝60tan 60°－60tan 15°＝120(3－1)(m)．
答案：120(3－1)
3.如图，某工程中要将一长为100 m，倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长________m.
100x解析：设坡底需加长x m，由正弦定理得＝，解得sin 30°sin 45°
x＝1002.
答案：1002
4．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，
DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为________km.
12222
解析：∵8＋5－2×8×5×cos(π－D)＝3＋5－2×3×5×cos D，∴cos D＝－.∴AC2＝49＝7(km)．
答案：7
5．如图，已知在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在海岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在海岛北偏西60°，俯角为60°的C处．轮船沿BC行驶一段时间后，到达海岛的正西方向的D处，此
时轮船距海岛A有________千米．
解析：由已知可求得AB＝3，AC＝＝
330310，BC＝，所以sin∠ACB＝，cos∠ACB3310
10
.在△ACD中，∠DAC＝90°－60°＝30°，∠ACD＝180°－∠ACB，sin∠ADC 10
330－10
＝sin(∠ACD＋∠DAC)＝sin∠ACD·cos∠DAC＋sin∠DACcos∠ACD＝，由正弦定
20理可求得AD＝
AC·sin∠ACD9＋3
＝. sin∠ADC13
9＋3
答案： 13
[练常考题点——检验高考能力]
一、填空题
1．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为________km.
解析：如图所示，由余弦定理可得：AC＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC＝107(km)．
答案：107
2．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为________km/h.
2
解析：设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝得?
0.634
＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理155
?1v?2＝?1×2?2＋12－2×1×2×1×4，解得v＝62 km/h.
???105?10??10?
答案：62
3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是________海里．
解析：如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，
sin 30°sin 45°
解得BC＝102(海里)． 答案：102
4.(2018·镇江京口区调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为________h.
解析：记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△
BCABOAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－
2×600×20t×
2302－15302＋15222，令OB≤450，即4t－1202t＋1 575≤0，解得≤t≤，222
302＋15302－15
所以该码头将受到热带风暴影响的时间为－＝15(h)．
22
答案：15
5．如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是________km.
解析：由题意，知∠BAC＝60°－30°＝30°，∠ABC＝30°＋45°＝75°，则∠ACB＝1222
180°－75°－30°＝75°，∴AC＝AB＝40×＝20(km)．由余弦定理，得BC＝AC＋AB－
22AC·AB·cos∠BAC＝20＋20－2×20×20×cos 30°＝800－4003＝400(2－3)，∴BC＝
－3＝答案：10(6－2)
6．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m.
解析：设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝3h，根据余弦定理得，(3h)＝h2
2
2
2
3－
2
＝102(3－1)＝10(6－2)km.
江苏专版2019版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形课时达标检测二十四解三角形的实际应用
