数字信号处理期末试卷(含答案)
填空题（每题2分，共10题）
1、 1、 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是信号，再进行幅度量化
后就是信号。
j?j?FT[x(n)]?X(e)Re[X(e)]对应的序列为。 x(n)2、 2、 ，用求出
３、序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在的N点等间隔采样。
４、x1?R4(n)x2?R5(n)，只有当循环卷积长度L时，二者的循环卷积等于线性卷积。 ５、用来计算N＝16点DFT，直接计算需要_________次复乘法，采用基2FFT算法，需要________ 次复乘法，运算效率为___ 。 ６、FFT利用来减少运算量。
７、数字信号处理的三种基本运算是：。
h(0)?h(5)?1.5h(1)?h(4)?2８、FIR滤波器的单位取样响应h(n)是圆周偶对称的，N=6，h(2)?h(3)?3，其幅度特
性有什么特性？，相位有何特性？。
H(z)?９、数字滤波网络系统函数为定的条件是（取T?0.1s）。
11??akz?kK?1N，该网络中共有条反馈支路。
１０、用脉冲响应不变法将Ha(s)转换为H(Z)，若Ha(s)只有单极点sk，则系统H(Z)稳
一、
选择题（每题3分，共6题）
n?j(?)361、 1、 x(n)?e，该序列是。 B.周期
nA.非周期序列
N??6
C.周期N?6?
D. 周期N?2?
2、 2、 序列x(n)??au(?n?1)，则X(Z)的收敛域为。
A.
Z?a
B.
Z?a
C.
Z?a
D.
Z?a
3、 3、 对x(n)(0?n?7)和y(n)(0?n?19)分别作20点DFT，得X(k)和Y(k)，
F(k)?X(k)?Y(k),k?0,1,?19，f(n)?IDFT[F(k)],n?0,1,?19，
n在范围内时，f(n)是x(n)和y(n)的线性卷积。 A.0?n?7
B.7?n?19
C.12?n?19
D.0?n?19
4、 4、 x1(n)?R10(n)，x2(n)?R7(n)，用DFT计算二者的线性卷积，为使计算量尽可
能的少，应使DFT的长度N满足。 A.N?16 B.N?16 C.N?16 D.N?16
５、已知某线性相位FIR滤波器的零点Zi , 则下面那些点仍是该滤波器的零点。 A ZI* B 1 / ZI* C 1 / Zi D 0
６、在IIR数字滤波器的设计中，用方法只适合于片断常数特性滤波器的设计。
A.脉冲响应不变法 B.双线性变换法 C.窗函数法 D.频率采样法
1 / 18
三、 分析问答题（每题5分，共2题）
??n?n0n0?n??nx(n)??h(n)??n?n0，?0?01、 1、 已知
性卷积，讨论关于y(n)的各种可能的情况。
0?n?N其它，y(n)是h(n)和x(n)的线
2、 2、 加有限窗截断序列引起的截断效应对谱分析的影响主要表现在哪些方面，如何减
弱？
四、 画图题（每题8分，共2题）
１、已知有限序列的长度为8，试画出基2 时域FFT的蝶形图，输出为顺序。
?0.2n,0?n?5h(n)???0,其它,求其直接型结构流图。 ２、已知滤波器单位取样响应为
五、 计算证明题（每题9分，共4题）
1、 1、 对实信号进行谱分析，要求谱分辨率F?20Hz，信号最高频率fc?2kHz。
① ① 试确定最小记录时间
Tpmin，最少采样点数Nmin和最大采样间隔Tmax；
② ② 要求谱分辨率增加一倍，确定这时的
Tpmin和Nmin。
２、设X(k)?DFT[x(n)],x(n)是长为N的有限长序列。证明
?0 （1）如果x(n)??x(N?1?n),则X(0）（2）当N为偶数时，如果
x(n)?x(N?1?n),则X(j??j?(?)N）?02
３、FIR 滤波器的频域响应为H(e)?Hg(?)e，设
滤波器的长度，则对FIR 滤波器的单位冲击响应h（n）有何要求，并证明你的结论。 ４、已知模拟滤波器传输函数为
?(?)????,?为N?12，N为
Ha(s)?5s2?3s?2，设T?0.5s，
用双线性变换法将Ha(s)转换为数字滤波器系统函数H(z)。
数字信号处理期末试卷2
二、 填空题（每题2分，共10题）
3、 若线性时不变系统是有因果性，则该系统的单位取样响应序列h(n)应满足的充分必要条
件是。
?22X(ej?)???0?????j?24、 已知，X(e)的反变换X(n)?。
３、x(n)??(n?3)，变换区间N?8，则X(k)?。
1，2，1，1，2，1，1，2?，x2(n)??0，1，3，2，0?，x3(n)是x1(n)和x2(n)的8（n?0）（n?0）４、x1(n)??点循环卷积，则x3(2)?。
５、用来计算N＝16点DFT直接计算需要_次复加法，采用基2FFT算法，需要次复乘法 ６、基2DIF-FFT 算法的特点是
７、有限脉冲响应系统的基本网络结构有
2 / 18
???８、线性相位FIR滤波器的零点分布特点是
９、IIR系统的系统函数为H(z)，分别用直接型，级联型，并联型结构实现，
其中的运算速度最高。
１０、用双线性变换法设计理想低通数字滤波器，已知理想低通模拟滤波器的截止频率
?c?2?(2000)rad/s，并设T?0.4ms，则数字滤波器的截止频率?c?（保留四位小数）。
三、 选择题（每题3分，共6题）
5、 以下序列中的周期为5。
3?x(n)?cos(n?)58 A.
D.x(n)?e2?j(?n?)583?x(n)?sin(n?)58 B.
C.x(n)?e2?j(n?)58
C.没有零、极点
D.既有
6、 FIR系统的系统函数H(Z)的特点是。
A.只有极点，没有零点 B.只有零点，没有极点 零点，也有极点 7、 有限长序列
x(n)?xep(n)?xop(n)0?n?N?1，则x?(N?n)?。
x(n)?xop(n) x(n)?xop(N?n) x(n)?xop(n) A.epB.epC.ep D.
xep(n)?xop(N?n)
8、 对x(n)(0?n?9)和y(n)(0?n?19)分别作20点DFT，得X(k)和Y(k)，F(k)?X(k)?Y(k),k?0,1,?19，f(n)?IDFT[F(k)],n?0,1,?19，
n在范围内时，f(n)是x(n)和y(n)的线性卷积。
D.10?n?19
A.0?n?9 B.0?n?19 C.9?n?19 ５、线性相位FIR滤波器有种类型
A 1 B 2 C 3 D 4 换为H(Z)时应使s平面的左半平面映射到z平面的。
A.单位圆内 B.单位圆外 C.单位圆上
６、利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器时，为了使系统的因果稳定性不变，在将Ha(s)转
D.单位圆与实轴的交点
四、 分析问答题（每题5分，共2题）
3、 某线性时不变因果稳定系统单位取样响应为h(n)（长度为N），则该系统的频率特性、
复频域特性、离散频率特性分别怎样表示，三者之间是什么关系？
4、 用DFT对连续信号进行谱分析时，主要关心哪两个问题以及怎样解决二者的矛盾？
五、 画图题（每题8分，共2题）
1j?y(n)?y(n?1)?x(n)H(e)?21、 已知系统，画出幅频特性（的范围是0?2?）。
141111y(n)?y(n?1)?y(n?2)?x(n)?x(n?1)?x(n?2)1556362、 已知系统，用直接Ⅱ
型结构实现。
六、 计算证明题（每题9分，共4题）
2、 对实信号进行谱分析，要求谱分辨率F?100Hz，信号最高频率fc?1kHz。
① 试确定最小记录时间
Tpmin，最少采样点数Nmin和最低采样频率fmin；
3 / 18
② 在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的Ｎ值。
3、 设x(n)是长度为2N的有限长实序列，X(k)为x(n)的2N点DFT。试设计用一次N点
FFT完成X(k)的高效算法。
３、FIR数字滤波器的单位脉冲响应为h(n)?2?(n)??(n?1)??(n?3)?2?(n?4)
（1） 写出频率采样型结构中复数乘法器系数的计算公式，采样点数为N＝5。 （2） 该滤波器是否具有线性相位特性？为什么？
3s2?5s?6，设T?0.5s， ４、已知模拟滤波器传输函数为
用脉冲响应不变法（令h(n)?Tha(nT)）将Ha(s)转换为数字滤波器系统函数H(z)。
Ha(s)?
《数字信号处理》考试试卷
考试时间：120分钟考试日期：年月日
班级：序号：姓名：成绩：
一、（8分） 求序列
(a) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}的共扼对称、共扼反对称部分； (b) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}周期共扼对称、周期共扼反对称部分。 二、（8分）系统的输入输出关系为
y[n]?a?nx[n]?x[n?1],a?0
判定该系统是否为线性系统、因果系统、稳定系统和时移不变系统，并说明理由。 三、（8分）求下列Z变换的反变换
z?z?2?H?z???z?0.2??z?0.6?，z?0.2 四、（3分）一个FIR滤波器的系统函数为
H?z??1?0.3z?1?2.5z?2?0.8z?3?1.5z?4
求另一个n?4时h?n??0，且具有相同幅度响应的因果FIR滤波器。
五、（8分）已知单位脉冲响应长度为9的类型3实系数线性相位FIR滤波器具有零点：z1?4，z2?1?j。
（a） 求其他零点的位置 （b） 求滤波器的传输函数 六、（8分）已知x?n?（0?n?N?1）为长度为N（N为偶数）的序列，其DFT变换为X?k?，
（1） 用X?k?表示序列v[n]?x[?n?3?N]的DFT变换。
4 / 18
（2） 如果x[n]??（0?n?N?1），求其N点DFT。
Y(z)H(z)?X(z) 七、（10分）确定以下数字滤波器的传输函数
n
八（10分）分别用直接型和并联型结构实现如下滤波器
G?z??18z318z3?3z2?4z?1?0.361?0.5z?1?0.241?0.3333z?1?0.4
?1?0.3333z??12
??0.2??s?0.3??p??s?0.001九、（10分）低通滤波器的技术指标为：p，，，请在附录中选择合适的窗函数，用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位FIR滤波器。 十、（20分）用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤
??0.3?A?10波器，技术指标为： ?s?0.1?， p，, ??0.4843
十一、（7分）信号y?n?包含一个原始信号x?n?和两个回波信号： 求一个能从y?n?恢复x?n?的可实现的滤波器． 附录：
表1 一些常用的窗函数 矩形窗(rectangular window) y?n??x?n??0.5x?n?nd??0.25x?n?2nd?
?10?n?Mw[n]??其它 ?02?n??0.5?0.5cos()?M?n?Mw[n]??2M?1?0其它? 汉宁窗(Hann window) 5 / 18
汉明窗(Hamming window) 2?n??0.54?0.46cos()?M?n?Mw[n]??2M?1?0其它? 2?n4?n??0.42?0.5cos()?0.08cos()?M?n?Mw[n]??2M?12M?1?0其它? 布莱克曼窗(Blackman window) Window 表2 一些常用窗函数的特性 Relative Minimum Main Lobe width ?ML sidelobe level stopband Asl attenuation 4?/(2M+1) 8?/(2M+1) 8?/(2M+1) 12?/(2M+1) 13.3dB 31.5dB 42.7dB 58.1dB 20.9dB 43.9dB 54.5dB 75.3dB Transition bandwidth ?? 0.92?/M 3.11?/M 3.32?/M 5.56?/M Rectangular Hann Hamming Blackman
?c=1归一化巴特沃兹滤波器的系统函数有以下形式：
Ha(s)?N 1 2 3 4 5 1sN?a1sn?1?a2sn?2???aN?1s?aN
表3 阶数1? N? 5归一化巴特沃兹滤波器系统函数的系数 a1 a2 a3 a4 a5 1.0000 1.4142 1.0000 2.0000 2.0000 1.0000 2.6131 3.4142 2.6131 1.0000 3.2361 5.2361 5.2361 3.2361 1.0000
《数字信号处理》考试答案
总分：100分
1、（8分）求序列
(a) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}的共扼对称、共扼反对称部分。 (b) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}周期共扼对称、周期共扼反对称部分。
6 / 18
*{h[?n]}?{?7?j2,3?j,5?j6,4?j3,?2?j5} 解：(a)
Hcs[n]?0.5*(h[n]?h*[?n])?{?4.5?j1.5,3.5?j2,?5,3.5?j2,?4.5?j1.5} Hca[n]?0.5*(h[n]?h*[?n])?{?2.5?j3.5,0.5?j,?j,?0.5?j,?2.5?j3.5}
*h(b)[N?n]?{?2?j5,?7?j2,3?j,5?j6,?4?j3} Hpcs[n]?0.5*(h[n]?h*[N?n])?{?2,?1.5?j2.5,?4?j2.5,?4?j2.5,?1.5?j2.5}
Hpca[n]?0.5*(h[n]?h*[N?n])?{j5,?5.5?j0.5,?1?j3.5,?1?j3.5,?5.5?j0.5}
2、（8分）系统的输入输出关系为
y[n]?a?nx[n]?x[n?1],a?0
判定该系统是否为线性系统、因果系统、稳定系统和时移不变系统，并说明理由。
解：非线性、因果、不稳定、时移变化。
3、（8分）求下列Z变换的反变换
z?z?2?H?z???z?0.2??z?0.6?，z?0.2
解：
h?n???2.75?0.2?u??n?1??1.75??0.6?u??n?1?
4、（3分）一个FIR滤波器的系统函数为
nnz?z?2?1?2z?12.751.75H?z??????z?0.2??z?0.6?1?0.2z?11?0.6z?11?0.2z?11?0.6z?1
????H?z??1?0.3z?1?2.5z?2?0.8z?3?1.5z?4
求另一个n?4时h?n??0，且具有相同幅度响应的因果FIR滤波器。
5、（8分）已知单位脉冲响应长度为9的类型3实系数线性相位FIR滤波器具有零点：z1?4，z2?1?j。
（c） （a） 求其他零点的位置 （d） （b） 求滤波器的传输函数
111z?z??1?j?z??1?j?4，z?1?j，z?1?j，22解：（a）z?4，，，z?1，
z??1
H?z??1?z?11?z?11??1?j?z?11??1?j?z?1?4?3?2?1??Hz?z?0.3z?2.5z?0.8z?1.5 解：
????????11?1??1?1???1??1??1??1?j?z??1??1?j?z?1?4z?1?z?2??2??4? （b）???
6．（8分）已知x?n?（0?n?N?1）为长度为N（N为偶数）的序列，其DFT变
换为X?k?
7 / 18
（1）用X?k?表示序列v[n]?x[?n?3?N]的DFT变换。
n（2）如果x[n]??（0?n?N?1），求其N点DFT。
3k?j6?k/NV[k]?WX[k]?eX[k] N解：(1)
(2)
nknkX[k]??x[n]WN???nWN???Wn?0n?0n?0N?1N?1N?1?knN?k1??WN?k1??WN??N
H(z)? 7、（10分）确定以下数字滤波器的传输函数
Y(z)X(z)
V
W
U
解：
?V?X?2W??1?W?azV?bU??2?2?2?2?U?zV?XU?z?X?2W??X?1?zX?2zW?Y?z?2V?W1?2az?1?2bz?2W?az?1?b?bz?2X ?az?1?b?bz?2b?az?1??1?b?z?2?2?2?2Y?z?X?2W??W?zX??1?2z?X?X1?2az?1?2bz?21?2az?1?2bz?2
8、（10分）分别用直接型和并联型结构实现如下滤波器
??????G?z??
18z318z3?3z2?4z?1?0.361?0.5z?1?0.241?0.3333z?1?0.4?1?0.3333z??12
??0.2??s?0.3??p??s?0.0019. （10分）低通滤波器的技术指标为：p，，， 请在附录中选择合适的窗函数，用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位FIR滤波器。
解：用窗函数法设计的低通滤波器，其通带、阻带内有相同的波动幅度。由于滤波器技术指标中的通带、阻带波动相同，所以我们仅需要考虑阻带波动要求。阻带衰减为20log(0.001)=-60dB，因此只能采用布莱克曼窗。
????s??p?0.1?
8 / 18
5.56?5.56???56??0.1?
2?n4?n??0.42?0.5cos()?0.08cos()?M?n?Mw[n]??2M?12M?1?0其它?
?c?(?s??p)/2?0.25?M?，
ht[n]?hd[n?M]w[n?M]?
sin(?c(n?M))w[n?M]?(n?M) ，0?n?2M
10．(20分)用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波??0.3?A?10器，技术指标为： ?s?0.1?， p，, ??0.4843
0.0?H(ej?)?0.10???0.1?解：
。
我们可以用两种方法设计离散时间高通滤波器。我们可以设计一个巴特沃兹模拟低通滤波器，然后用双线性变换映射为巴特沃兹低通滤波器，再在z域进行低通到高通的转换。另一种方法是在双线性变换前就在s平面域进行低通到高通的转换，然后用双线性变换将模拟高通滤波器映射为离散时间高通滤波器。两种方法会得到同样的设计结果。我们采用第二种方法，更容易计算。
我们要设计一个高通滤波器，阻带截止频率为
0.9?H(ej?)?1.00.3??????s?0.1?，通带截止频率为?p?0.3?，
12且A=1/0.1=10, 1??= 0.4843 先将数字滤波器的技术指标转换到连续时间域。Ts=2, 且
?0.9???199??tan()2
有：
?)?tan(0.05?)?0.15842 ?p?p?tan()?tan(0.15?)?0.50952
?将这些高通滤波器的截止频率为映射为低通滤波器的截止频率，我们有 用变换s?1/s??1/??1/0.5095?1.9627??s?tan(pp?s??1/??1/0.1584?6.3138?ss
??pk??0.3109??s
所以模拟滤波器的选择因子(transition ratio or electivity parameter)为
判别因子(discrimination parameter)为：
k1??A?12?0.04867
因此，所需的巴特沃兹滤波器的阶数为：
9 / 18
N?我们取N=3, 则
log10(1/k1)?2.59log(1/k)
????p2Np2?()????c??0.7853?c ?2N???2ss?()?A?1??c??2.1509?c
????ps???c???2.5?2.1509， 我们可取 0.7853 如取c，则所求得的低通巴特沃兹滤波器为：
1?)?Ha(s?)3?2(s?)2?2(s?)?1?/??/??/?(sccc
?)?Ha(s
11??/2.5)3?2(s?/2.5)2?2(s?/2.5)?10.064s?3?0.32s?2?0.8s??1 (s?将低通滤波器转换为高通滤波器： 用低通到高通的转换关系s?1/ss3Ha(s)?0.064?0.32s?0.8s2?s3
1?z?1s?1?z?1最后采用双线性变换
H(z)?Ha(s)s?1?z?1
1?z?11?z?13()?11?z?1?z?11?z?121?z?130.064?0.32?0.8()?()?1?1?11?z1?z1?z?0.456z?3
?(1?z?1)3?2.072z?2?3.288z?1?2.184
11.（7分）信号y?n?包含一个原始信号x?n?和两个回波信号：
y?n??x?n??0.5x?n?nd??0.25x?n?2nd?
求一个能从y?n?恢复x?n?的稳定的滤波器．
解：因为X(z) 与Y(z)的关系如下：
Y(z)?(1?0.5z?nd?0.25z?2nd)X(z)
以y[n]为输入，x[n]为输出的系统函数为：
G(z)?11?0.5z?nd?0.25z?2nd
nd注意到：G(z)?F(z)，且F(z)的极点在：
F(z)?11?0.5z?1?0.25z?2
10 / 18
z??0.25(1?j3)
它在单位圆内半径为r=0.5处，所以G(z)的极点在单位圆内r'?(0.5)实现的。
?nd处，所以G(z)是可
《数字信号处理》
1． 1． (8分)确定下列序列的共扼对称、共扼反对称或周期共扼对称、周期共扼反对称部
分： (a) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2} (b) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}
2. (8分) 下式给出系统的输入与输出关系，判断它是线性的还是非线性的，移位不变还是移位变化的，稳定还是不稳定的，因果的还是非因果的。
y[n]?x[n]?x[?n]
3. (6分)确定下列序列的平均功率和能量
?5?x[n]???u[?n]?3?
4．(6分)已知x[n]（0?n?N?1）为长度为N（N为偶数）的序列，其DFT变换为X[k]
（1） （1） 用X[k]表示序列v[n]?x[?n?3?N]的DFT变换
nx[n]??（2） （2） 如果（0?n?N?1），求其N点DFT。
Y(z)H(z)?X(z) 5．. (8分)确定下列数字滤波器结构的传输函数
X(z) k2 -k1 Z-1 -k2
Z-1 a2 a1
Y(z)
6．(10分)以以下形式实现传输函数为
nH(z)?(1?0.7z?1)5?1?3.5z?1?4.9z?2?3.43z?3?1.2005z?4?0.16807z?5
的FIR系统结构。 (1) (1) 直接形式
(2) 一个一阶系统，两个二阶系统的级联。
7. (10分)低通滤波器的技术指标为：
0.99?H(ej?)?1.010???0.3? H(ej?)?0.010.35?????
11 / 18
用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位FIR滤波器。
8．(20分)用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波器，通带内等波纹，且
0.0?H(ej?)?0.10???0.1?
0.9?H(ej?)?1.00.3?????。
9.（10分））信号y[n]包含一个原始信号x[n]和两个回波信号： y[n]=x[n]+0.5x[n-nd]+0.25x[n-2nd]
求一个能从y[n]恢复x[n]的可实现滤波器．
z?1?a*H(z)?1?az?1，这里a?1 10 (14分))一个线性移不变系统的系统函数为
(a) 求实现这个系统的差分方程
(b) 证明这个系统是一个全通系统（即频率响应的幅值为常数的系统）
(c) H(z)和一个系统G(z)级联，以使整个系统函数为1，如果G(z)是一个稳定系统，求单位采样响应 g(n)。
附录：
表1 一些常用的窗函数 矩形窗(rectangular window) ?10?n?Mw[n]??其它 ?0汉宁窗(Hann window) 2?n??0.5?0.5cos()?M?n?Mw[n]??2M?1?0其它? 2?n??0.54?0.46cos()?M?n?Mw[n]??2M?1?0其它? 2?n4?n??0.42?0.5cos()?0.08cos()?M?n?Mw[n]??2M?12M?1?0其它? 汉明窗(Hamming window) 布莱克曼窗(Blackman window) Window 表2 一些常用窗函数的特性 Relative Minimum Main Lobe width ?ML sidelobe level stopband Asl attenuation 4?/(2M+1) 8?/(2M+1) 8?/(2M+1) 12?/(2M+1) 13.3dB 31.5dB 42.7dB 58.1dB 20.9dB 43.9dB 54.5dB 75.3dB Transition bandwidth ?? 0.92?/M 3.11?/M 3.32?/M 5.56?/M Rectangular Hann Hamming Blackman
?c=1归一化巴特沃兹滤波器的系统函数有以下形式：
12 / 18
Ha(s)?N 1 2 3 4 5
1sN?a1sn?1?a2sn?2???aN?1s?aN
表3 阶数1? N? 5归一化巴特沃兹滤波器系统函数的系数 a1 a2 a3 a4 a5 1.0000 1.4142 1.0000 2.0000 2.0000 1.0000 2.6131 3.4142 2.6131 1.0000 3.2361 5.2361 5.2361 3.2361 1.0000 《数字信号处理》考试答案
总分：100分
2． 1． (8分)确定下列序列的共扼对称、共扼反对称或周期共扼对称、周期共扼反对称部
分： (a) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2} (b) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}
*解：(a) {h[?n]}?{?7?j2,3?j,5?j6,4?j3,?2?j5}
Hcs[n]?0.5*(h[n]?h*[?n])?{?4.5?j1.5,3.5?j2,?5,3.5?j2,?4.5?j1.5}
Hca[n]?0.5*(h[n]?h*[?n])?{?2.5?j3.5,0.5?j,?j,?0.5?j,?2.5?j3.5}
(b)h[N?n]?{?2?j5,?7?j2,3?j,5?j6,?4?j3} *Hpcs[n]?0.5*(h[n]?h*[N?n])?{?2,?1.5?j2.5,?4?j2.5,?4?j2.5,?1.5?j2.5}
Hpca[n]?0.5*(h[n]?h*[N?n])?{j5,?5.5?j0.5,?1?j3.5,?1?j3.5,?5.5?j0.5}
2. (8分) 下式给出系统的输入与输出关系，判断它是线性的还是非线性的，移位不变还是移位变化的，稳定还是不稳定的，因果的还是非因果的。
y[n]?x[n]?x[?n]
解： (a) 令：对应输入x1[n]的输出为y1[n]，对应输入x2[n]的输出为y2[n],对应输入x[n]=x1[n]+x2[n]的输出为y[n]，则有
y1[n]?x1[n]?x1[?n]y2[n]?x2[n]?x2[?n]
y[n]?x[n]?x[?n]?(x1[n]?x2[n])?(x1[?n]?x2[?n])
?(x1[n]?x1[?n])?(x2[n]?x2[?n])?y1[n]?y2[n] 所以此系统为线性系统。
(b) (b) 设对应x[n]的输出为y[n]，对应输入x1[n]＝x[n-n0]的输出
为y1[n],则
y1[n]?x1[n]?x1[?n]?x[n?n0]?x[?(n?n0)]?x[n?n0]?x[?n?n0] y[n]?x[n]?x[?n]y[n?n0]?x[n?n0]?x[?n?n0] y[n?n0]?y1[n]
此系统为移位变化系统。 (c )假设x[n]?B，则有
13 / 18
y[n]?x[n]?x[?n]?x[n]?x[?n]?2B 所以此系统为BIBO稳定系统。 (d)此系统为非因果系统。 3. (6分)确定下列序列的平均功率和能量
?5?x[n]???u[?n]?3?
2n?0n能量为：
?x?
n???n????功率为：
52nn???5?2nn???32n1x[n]??()??()??()??25/161?9/25n???3n?03n?05
1n??k1n?052n1n??k5?2n2px?limx[n]?lim()?lim()???k??2k?1k??2k?1k??2k?1n?03n??kn??k3
k?11n??k9n11??9/25?px?lim()?lim?0?k??2k?1k??2k?1251?9/25n?0
4．(6分)已知x[n]（0?n?N?1）为长度为N（N为偶数）的序列，其DFT变换为X[k]
（3） （1） 用X[k]表示序列v[n]?x[?n?3?N]的DFT变换
nx[n]??（4） （2） 如果（0?n?N?1），求其N点DFT。 3k?j6?k/NV[k]?WX[k]?eX[k] N解：(1)
(2)
nknkX[k]??x[n]WN???nWN???Wn?0n?0n?0N?1N?1N?1?knN?k1??WN?k1??WN??N
5．. (8分)确定下列数字滤波器结构的传输函数 V[z] X(z) k 2
-k1 Z-1 -k2 Z-1 a2 a1
?1 ?1?1Y(z) 解：X[z]?k1z(?k2V(z)?zV(z))?k2zV(z)?V(z) 1V(z)?X(z)?1?21?(k2?k1k2)z?k1z则 ?1?1?1又(z?k2)V(z)?1z??2zV(z)?Y(z)
H(z)?Y(z)X(z)
14 / 18
?1?2则有Y[z]?[(?2?k2?1)z??1z]V(z)
(?2?k2?1)z?1??1z?2?X{z}?1?21?(k2?k1k2)z?k1z
6．(10分)以以下形式实现传输函数为
H(z)?(1?0.7z?1)5?1?3.5z?1?4.9z?2?3.43z?3?1.2005z?4?0.16807z?5
的FIR系统结构。 (2) (1) 直接形式
(2) 一个一阶系统，两个二阶系统的级联。
x[n]
解：(1)
z-1 -3.5 z-1 4.9 z-1 -3.43 z-1 1.2005 z-1 -0.16807
1 y[n]
?15?1?1?2?1?2 (2)H(z)?(1?0.7z)?(1?0.7z)(1?1.4z?0.49z)(1?1.4z?0.49z) x[n] z-1 z-1 z-1 -1.4 -1.4 -0.7 z-1 z-1 0.49 0.49
7. (10分)低通滤波器的技术指标为：
y[n]
0.99?H(ej?)?1.010???0.3? H(ej?)?0.010.35?????
用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位FIR滤波器。
解：用窗函数法设计的低通滤波器，其通带、阻带内有相同的波动幅度。由于滤波器技术指标中的通带、、阻带波动相同，所以我们仅需要考虑阻带波动要求。阻带衰减为20log(0.01)=-40dB，我们可以采用汉宁窗，虽然也可以采用汉明窗或布莱克曼窗，但是阻带衰减增大的同时，过渡带的宽度也会增加，技术指标要求过渡带的宽度为
????s??p?0.05?。由于 M??= 3.11?,
2?n??0.5?0.5cos()?M?n?Mw[n]??3.11?2M?1M??52?0其它?0.05?所以：， 且：
15 / 18
?c?(?s??p)/2?0.325?，所以滤波器为： sin(?c(n?M))ht[n]?hd[n?M]w[n?M]?w[n?M]?(n?M) ，0?n?2M
8．(20分)用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波器，通带内等波纹，且
一个理想低通滤波器的截止频率为
0.0?H(ej?)?0.10???0.1?
0.9?H(ej?)?1.00.3?????。
解：我们可以用两种方法设计离散时间高通滤波器。我们可以设计一个巴特沃兹模拟低通滤波器，然后用双线性变换映射为巴特沃兹低通滤波器，再在z域进行低通到高通的转换。另一种方法是在双线性变换前就在s平面域进行低通到高通的转换，然后用双线性变换将模拟高通滤波器映射为离散时间高通滤波器。两种方法会得到同样的设计结果。我们采用第二种方法，更容易计算。
??0.3?，且
我们要设计一个高通滤波器，阻带截止频率为?c?0.1?，通带截止频率为p12A=1/0.1=10, 1??先将数字滤波器的技术指标转换到连续时间域。Ts=2, 且
?0.9???199= 0.4843
有：
??tan()2
?)?tan(0.05?)?0.15842 ?p?p?tan()?tan(0.15?)?0.50952
?将这些高通滤波器的截止频率为映射为低通滤波器的截止频率，我们有 用变换s?1/s??1/??1/0.5095?1.9627??s?tan(pp?s所以模拟滤波器的选择因子(transition ratio or electivity parameter)为
??1/??1/0.1584?6.3138?ss
??pk??0.3109??s
判别因子(discrimination parameter)为：
k1??A?12?0.04867
因此，所需的巴特沃兹滤波器的阶数为：
N?我们取N=3, 则
log10(1/k1)?2.59log(1/k)
????p2Np2?()????c??0.7853 ?c16 / 18
?2N???2ss?()?A?1??c??2.1509 ?c????ps???c??2.1509，如取?c?2.5，则所求得的低通巴特沃兹滤波器为： 我们可取0.78531?)?Ha(s?)3?2(s?)2?2(s?)?1?/??/??/?(sccc
11?)?Ha(s??/2.5)3?2(s?/2.5)2?2(s?/2.5)?10.064s?3?0.32s?2?0.8s??1 (s
?将低通滤波器转换为高通滤波器： 用低通到高通的转换关系s?1/ss3Ha(s)?0.064?0.32s?0.8s2?s3
1?z?1s?1?z?1最后采用双线性变换
H(z)?Ha(s)s?1?z?1
1?z?11?z?13()?11?z?1?z?11?z?121?z?130.064?0.32?0.8()?()1?z?11?z?11?z?1?
9.（10分））信号y[n]包含一个原始信号x[n]和两个回波信号： y[n]=x[n]+0.5x[n-nd]+0.25x[n-2nd]
求一个能从y[n]恢复x[n]的可实现滤波器．
解：因为X(z) 与Y(z)的关系如下：
?0.456z?3(1?z?1)3?2.072z?2?3.288z?1?2.184
Y(z)?(1?0.5z?nd?0.25z?2nd)X(z)
以y[n]为输入，x[n]为输出的系统函数为：
G(z)?11?0.5z?nd?0.25z?2nd
nd注意到：G(z)?F(z)，且F(z)的极点在：
F(z)?11?0.5z?1?0.25z?2
z??0.25(1?j3)
?ndr'?(0.5)它在单位圆内半径为r=0.5处，所以G(z)的极点在单位圆内处，所以G(z)是可
实现的。
z?1?a*H(z)?1?az?1，这里a?1 10 (14分))一个线性移不变系统的系统函数为
(a) 求实现这个系统的差分方程
(b) 证明这个系统是一个全通系统（即频率响应的幅值为常数的系统）
(c) H(z)和一个系统G(z)级联，以使整个系统函数为1，如果G(z)是一个稳定系统，求单位
17 / 18
采样响应 g(n)。
Y(z)z?1?a*H(z)??X(z)1?az?1 解：(a)
Y(z)(1?az?1)?X(z)(z?1?a*)
对方程的两边进行反z变换：
y[n]?ay[n?1]?x[n?1]?a*x[n]
e?j??a*H(e)?1?ae?j? (b)频率响应为：
j?所以幅值的平方为：
所以系统为一个全通滤波器
1?a?2Re(a*ej?)e?j??a*ej??aj?j?*j?H(e)?H(e)H(e)???1?j?*j?2*j?1?ae1?ae1?a?2Re(ae)
221?az?111?az?1G(z)??1??**z?aa1?(a*z)?1 ?
*此系统在z?1/a处有一极点，在z?1/a处有一零点。因为a?1，极点在单位圆外。所
以，如果 g[n]是稳定的，收敛域一定为z?1/a。因而g[n]是左边序列。
g[n]?(a*)?n?1u[?n?1]?a(a*)?(n?1)u[?n]
18 / 18
数字信号处理期末试题及标准答案
