数学分析答案第四版
>第一部分 实数理论 1 实数的完备性公理 一、实数的定义
【篇一：数学分析(4)复习提纲(全部版)】
在集合r内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称r为实数域或实数空间。 （1）域公理： （2）全序公理：
则或a中有最大元而a?中无最小元，或a中无最大元而a?中有最小元。
评注 域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。 二、实数的连续性（完备性）公理
实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。主要有如下几个公理： 确界原理： 单调有界定理： 区间套定理：
有限覆盖定理：（heine-borel） 聚点定理：(weierstrass)
致密性定理：(bolzano-weierstrass) 柯西收敛准则：(cauchy)
习题1 证明dedekind分割原理和确界原理的等价性。 习题2 用区间套定理证明有限覆盖定理。 习题3 用有限覆盖定理证明聚点定理。
评注 以上定理哪些能够推广到欧氏空间r？如何叙述？ n 2 闭区间上连续函数的性质
有界性定理：上册p168；下册p102,th16.8；下册p312,th23.4 最值定理：上册p169；下册下册p102,th16.8
介值定理和零点存在定理：上册p169；下册p103,th16.10
一致连续性定理（cantor定理）：上册p171；下册p103,th16.9；下册p312,th23.7 习题4 用有限覆盖定理证明有界性定理 习题5 用致密性定理证明一致连续性定理 3 数列的上(下)极限
三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）??n定义 评注 确界定义易于理解；聚点定义易于计算；??n定义易于理论证明
习题6 用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。（p173）
习题7 证明上面三种定义的等价性。 第二部分 级数理论 1 数项级数
前言 级数理论是极限理论的直接延伸，但又有自身独特的问题、特点和研究方法。上（下）极限是研究级数的一个有力工具。对于数项级数，可看作有限个数求和的推广，自然要考虑如何定义其和，两个级数的和和积，结合律、交换律是否还成立等问题。级数的收敛性和无
穷积分有着极大的相似性，学习时要注意二者的比较。 一、cauchy收敛准则 ?u
n?1?n?u1?u2??
几个概念 部分和？收敛？发散？绝对收敛？条件收敛？ 收敛的必要条件 ?u n?1?n收敛?un?0
评注 此结论由un?sn?sn?1两边取极限即得证，也可由下面的cauchy收敛准则得到。要注意此性质和无穷积分有较大差别。对于收敛的无穷积分
能推出f(x)?0(x???)（参见反常积分） ???af(x)dx即使f(x)?0也不
cauchy收敛准则 ?u
n?1?n收敛????0,?n,?n?n,?p,有 sn?p?sn?un?1?un?2???un?p?? 思考正面叙述级数发散的cauchy准则。
加括号 对于收敛的级数可以任意加括号，新的级数仍收敛且其和不变。也就是说收敛的级数满足结合律。
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