高中数学-1-3-2-1函数的奇偶性课后强化训练-新人教A版必修1

1.3.2.1

一、选择题

1．下列命题中错误的是( )

①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数 ②奇函数的图象一定过原点 ③偶函数的图象与y轴一定相交 ④图象关于y轴对称的函数一定为偶函数 A．①② C．①④ [答案] D

??x－1 x≥11

[解析] f(x)＝为奇函数，其图象不过原点，故②错；y＝?

x?－x－1 x≤－1?

B．③④ D．②③

为偶函

数，其图象与y轴不相交，故③错．

2．如果奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f(x)在(－∞，0)上( ) A．减函数 B．增函数

C．既可能是减函数也可能是增函数 D．不一定具有单调性 [答案] B

3．已知f(x)＝x＋ax＋bx－5，且f(－3)＝5，则f(3)＝( ) A．－15 C．10 [答案] A

[解析] 解法1：f(－3)＝(－3)＋a(－3)＋(－3)b－5＝－(3＋a·3＋3b－5)－10＝－f(3)－10＝5，

∴f(3)＝－15.

解法2：设g(x)＝x＋ax＋bx，则g(x)为奇函数， ∵f(－3)＝g(－3)－5＝－g(3)－5＝5， ∴g(3)＝－10，∴f(3)＝g(3)－5＝－15.

4．若f(x)在[－5,5]上是奇函数，且f(3)f(1)

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7

5

7

5

7

5

7

5

B．15 D．－10

C．f(2)>f(3) D．f(－3)

[解析] ∵f(3)

5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2－3，则f(－2)的值等于( ) A．－1 C.11

4

B．1 11D．－

4

x[答案] A

[解析] ∵x>0时，f(x)＝2－3， ∴f(2)＝2－3＝1，

又f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)＝－1.

6．设f(x)在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且f(x)为偶函数，则f(x)在[1,2]上( )

A．为减函数，最大值为3 B．为减函数，最小值为－3 C．为增函数，最大值为－3 D．为增函数，最小值为3 [答案] D

[解析] ∵f(x)在[－2，－1]上为减函数，最大值为3，∴f(－1)＝3， 又∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[1,2]上为增函数，且最小值为f(1)＝f(－1)＝3. 7．(胶州三中高一模块测试)下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( )

A．y＝x

3

2

x

B．y＝－x＋1 D．y＝2

－|x|

2

C．y＝|x|＋1 [答案] C

[解析] 由偶函数，排除A；由在(0，＋∞)上为增函数，排除B，D，故选C.

?1?8．(09·辽宁文)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调递增，则满足f(2x－1)

x取值范围是( )

?12?A.?，? ?33?

?12?B.?，? ?33??12?D.?，? ?23?

?12?C.?，? ` ?23?

[答案] A

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111

[解析] 由题意得|2x－1|

?<2x

9．若函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝( ) A．1 C．0 [答案] B

[解析] 解法1：f(x)＝x＋(a＋1)x＋a为偶函数， ∴a＋1＝0，∴a＝－1.

解法2：∵f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数， ∴对任意x∈R，有f(－x)＝f(x)恒成立， ∴f(－1)＝f(1)， 即0＝2(1＋a)，∴a＝－1.

10．奇函数f(x)当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－2x＋3，则f(1)与f(2)的大小关系为( ) A．f(1)f(2) [答案] C

[解析] 由条件知，f(x)在(－∞，0)上为减函数， ∴f(－1)

又f(x)为奇函数，∴f(1)>f(2)．

[点评] 也可以先求出f(x)在(0，＋∞)上解析式后求值比较，或利用奇函数图象对称特征画图比较．

二、填空题

11．若f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)为偶函数，则g(x)＝ax＋bx＋cx的奇偶性为________． [答案] 奇函数

[解析] 由f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)为偶函数得b＝0，因此g(x)＝ax＋cx，∴g(－x)＝－g(x)，

∴g(x)是奇函数．

12．偶函数y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，则方程f(x)＝0的所有根之和为________．

[答案] 0

[解析] 由于偶函数图象关于y轴对称，且与x轴有三个交点，因此一定过原点且另两个互为相反数，故其和为0.

三、解答题

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2

3

2

3

2

2

B．－1 D．不存在

B．f(1)＝f(2) D．不能确定

13．判断下列函数的奇偶性：

??－x＋x(x>0)

(1)f(x)＝?2

??x＋x (x≤0)

2

；

(2)f(x)＝

1

. x＋x2

2

??x－x (x≥0)

[解析] (1)f(－x)＝?2

?－x－x(x<0)?

，

∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． (2)f(－x)＝

1

≠f(x)，f(－x)≠－f(x)，∴f(x)既不是奇函数，又不是偶函数． x2－x2

14．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式．

[解析] f(－x)＋g(－x)＝x－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f(x)－g(x)＝x－x－2

又f(x)＋g(x)＝x＋x－2，两式联立得：

2

2

2

f(x)＝x2－2，g(x)＝x.

15．函数f(x)＝式．

[解析] 因为f(x)是奇函数且定义域为(－1,1)， 所以f(0)＝0，即b＝0. 1a21?22?又f??＝，所以＝，

?2?5?1?25

1＋???2?所以a＝1，所以f(x)＝2. 1＋x16．定义在(－1,1)上的奇函数f(x)是减函数，且f(1－a)＋f(1－a)<0，求实数a的取值范围．

[解析] 由f(1－a)＋f(1－a)<0及f(x)为奇函数得，f(1－a)

∴?－1<1－a<1??1－a>a2－1

2

22

ax＋b?1?2

2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f??＝，求函数f(x)的解析1＋x?2?5

x

解得0

故a的取值范围是{a|0

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17．f(x)是奇函数，当x≥0时，f(x)的图象是经过点(3，－6)，顶点为(1,2)的抛物线的一部分，求f(x)的解析式，并画出其图象．

[解析] 设x≥0时，f(x)＝a(x－1)＋2， ∵过(3，－6)点，∴a(3－1)＋2＝－6，∴a＝－2. 即f(x)＝－2(x－1)＋2. 当x<0时，－x>0，

2

2

2

f(－x)＝－2(－x－1)2＋2＝－2(x＋1)2＋2，

∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝2(x＋1)－2，

??－2(x－1)＋2 (x≥0)

即f(x)＝?2

?2(x＋1)－2 (x<0)?

2

2

，

其图象如图所示．

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