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（1）证明：平面 PAB⊥平面 PAD； （2）若 PA=PD=AB=DC， APD 19．（12 分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 测量
16 个零件，并
90 ，求二面角 A- PB-C的余弦值 .
其尺寸（单位： cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分
2 布
N( , ) ．
（1）假设生产状态正常，记 件
X表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 (
3 ,
3 ) 之外的零
数，求 P( X 1)及 X 的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的
9.95 10.26
( 3 , 3 ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一
天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
16 个零件的尺寸： 9.96 10.02 16
2
x x ( ) i 16 i 1
10.01 9.22
1
9.92 16 2 ( 16
i 1 x i
2 2
0.212
xi 为抽取 ，其中
9.98
10.04 9.95
10.12 9.91
9.96 10.13
1
10.04 10.05
经计算
得
x
1
16 x i
， 9.97 s
x 16 )
16 i 1
的第 i 个零件的尺寸， i 1, 2, ,16 ．
用样本平均数 x 作为 的估计值 ?，用样本标准差 s作为 的估计值 ?，利用估计值判断是否需对 当天的生产过程进行检查？剔除 0.01 ）．
( ? 3 ?, ? 3 ?) 之外的数据， 用剩下的数据估计
2 ) ，则 P(
和 （精确到
附：若随机变量 Z 服从正态分布 N( , 3 Z 3 ) 0.997 4 ，
16
0.997 4 0.959 2 ， 0.008 0.09．
20. （12 分）
已知椭圆 C：
2 2 3 x y ），P42 ，P2（0,1 ），2 （1， 2 =1（a>b>0），四点 P1（1,1 ）P3（–1， a b
3 ）中恰2 有
三点在椭圆 C上. （1）求 C的方程；
（2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C相交于 A，B两点。若直线 P2A与直线 P2B的斜率的和为– 1，证明： l
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过定点 .
21. （12 分）
x 已知函数 （f x) ae
﹣2x+( a﹣2) e
x. 2x+( a﹣2)
e
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）若 f (x) 有两个零点，求 a 的取值范围 .
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
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22． 在[
x 3cos
（θ 为参数），直线l 的参数方程 , 4―4直角：坐标系与参数方程 ] （10 分） y sin ,
为 x a 4t ,
（t为参数）.
y 1 t,
（1）若 a=- 1，求 C与 l 的交点坐标； （2）若 C上的点到 l 的距离的最大值为 17 ，求 a.
23．[ 选修4— 5：不等式选讲] （10 分）
已知函数 f （ x）=– x
2+ax+4，g( x)=│x+1│+│ x–
（ 1）当 a=1 时，求不等式 f （ x）≥ g（x）的解集；
（ 2）若不等式 f （x）≥ g（x）的解集包含 [ – 1，1] ，求 a 的取值范围.
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│.
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2017 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
19. A
2．B 8．D
3．B 9．D
4．C 10．A
5．D 11．D
6．C 12．A
7．B
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13． 2 3 15．
14．-5
2 3 3
3 16．
15cm
17~21 题为必考题，每个试
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 题考
生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）△ ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知△ ABC的面积为
（1）求 sin Bsin C;
（2）若 6cosBcos C=1，a=3，求△ ABC的周长 . 解：（1）
由题意可 得 S
1
bc sin A 2
2 ， a A 3sin
2
a 3sin
A
ABC
2 化简可 2
2a 3bc sin 得
A ，
2 2 根据正弦定理化简可2sin A 3sin B sinCsin A 得：
sinC 。
sin B
2 3
（2）
2
sin B sinC 由 3
cos A cos B
1 cosC
6 B C ， 因此可
得 3 2 将之代sin B sinC 中可入
得：
3
1
cos A B
sin B sinC cos B cosC
2
2 A
，
3
sin C sin C 0 ，
3
3
sin C cos C 2
1 2
2 sin C
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3
化简可 tan C 得
C ,B
3
，
6 6
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2017全国一卷理科数学高考真题及答案
