核心考点解读——概率
考纲解读里的I，II的含义如下：
I：对所列知识要知道其内容及含义，并能在有关问题中识别和直接使用，即了解和认识.
II：对所列知识要理解其确切含义及与其他知识的联系，能够进行叙述和解释，并能在实际问题的分析、综合、推理和判断等过程中运用，即理解和应用.(以下同)
随机事件的概率（I） 古典概型（II） 几何概型（I） 离散型随机变量及其分布（II） 离散型随机变量的均值与方差（II） 条件概率及两个事件相互独立的概念（I） n次独立重复试验及二项分布（II） 正态分布（I） 1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目若在选择题、填空题中出现，则主要考查古 典概型、几何概型、条件概率的计算；若在解答题中出现，则主要考查离散型随机变量及其分布、期望与方差. 2.从考查内容来看，主要考查在古典概型或几何概型下求随机事件的概率，求条件概率，通过互斥事件、对立事件考查等可能性事件的概率取值问题，利用正态曲线的对称性求概率，确定离散型随机变量的分布状况，并利用其分布列求该随机变量的期望与方差，体现了概率问题的实际应用状况. 3.从考查热点来看，概率求值是高考命题的热点，以古典概型或几何概型为主线，考查随机事件的概率.解答题中常与统计知识相结合考查离散型随机变量的分布列与期望，需注意知识的灵活运用. 1.随机事件的概率 (1)概率与频率：理解概率与频率的关系.知道频率是指在n次重复试验下，某事件A出现的次数与试验次数的比值，其随着试验次数的改变而改变.概率是指对于给定的随机事件，随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某一个常数附近，这个常数称为事件A发生的概率.频率值随着试验次数的变化而变化，概率值则是一个常数，当试验次数越多时，频率值越接近于概率值，此时可以把频率近似地看做概率.
(2)互斥事件与对立事件：由对立事件的定义可知，对立事件首先是互斥事件，即两个事件是对立事件，则它们肯定是互斥事件，反过来，当两个事件是互斥事件时，这两个事件不一定是对立事件. (3)随机事件的概率的性质及其求解方法 性质：0?p?1.若事件的概率为1，则该事件是必然事件；若事件的概率为0，则该事件是不可能事件；若事件的概率为0?p?1，则该事件是随机事件. 随机事件概率的求法： (i)将所求事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率的加法公式求解概率； (ii)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，则可考虑利用对立事件的概率公式，即利用“正难则反”的思想. 2.古典概型与几何概型 (1)古典概型：(i)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(ii)每个基本事件出现的可能性相等. 古典概型的概率计算公式：P(A)?A包含的基本事件的个数. 基本事件的总数(2)几何概型：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例. 特点：(i)一次实验的基本事件数是无限的；(ii)每个基本事件发生的可能性是相等的. 几何概型的概率计算公式： P(A)?构成事件A的区域长度（面积或体积）. 试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积）(3)异同点：共同点是基本事件的发生是等可能的，不同点是古典概型有有限个基本事件，几何概型有无限个基本事件. 3.离散型随机变量及其分布 (1)求离散型随机变量的分布列的一般步骤：首先明确随机变量的所有可能取值，其次利用概率的有关知识，求出随机变量每个取值的概率，最后按规范写出分布列，并用分布列的性质验证. ? x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn (2)常见的离散型随机变量的概率分布模型：两点分布、超几何分布、二项分布. 4.离散型随机变量的均值与方差 (1)均值（或数学期望）：反映离散型随机变量取值的平均水平. 计算方法：E(?)?x1p1?x2p2?性质：E(a??b)?aE(?)?b. (2)方差：刻画了随机变量?与其期望E(?)的平均偏离程度. 计算方法：D(?)??xipi??xnpn. ?(x?E(?))ii?1n2?pi. 22性质：D(a??b)?aD(?)，D????E(?)?E???. 2(3)若随机变量?服从二项分布，即?B(n,p). kkn?k则事件A恰好发生k次的概率为P(??k)?Cnp(1?p)，k?0,1,2,???,n. 其期望为E(?)?np；其方差为D(?)?np(1?p). (4)若随机变量X服从正态分布，则表示为X正态分布的三个常用数据： N(?,?2). P(????X????)?0.6826； P(??2??X???2?)?0.9544； P(??3??X???3?)?0.9974. 5.条件概率与相互独立事件的概率 (1)条件概率：设A,B为两个事件，且P(A)?0，称P(B|A)?发生的条件下，事件B发生的条件概率. (2)事件的相互独立性：设A,B为两个事件，若P(AB)?P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立. 若事件A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也相互独立. P(AB)为在事件AP(A)
1．（2017高考新课标Ⅰ，理2）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部
分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是
A．C．
1 41 2
B．D．
π 8π 42.(2016高考新课标I，理4)某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班
车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
1 32C．
3A．
1 23D．
4B．
3.（2015高考新课标I，理4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 A．0.648 C．0.36
B．0.432 D．0.312
4．（2017高考新课标Ⅲ，理18）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每
瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温 天数 [10，15） 2 [15，20） 16 [20，25） 36 [25，30） 25 [30，35） 7 [35，40） 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
5．（2017高考新课标I，理19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(?,?)．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(??3?,??3?)之外的零件数，求
2P(X?1)及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(??3?,??3?)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
11611611622xi?9.97，经计算得x?其中xi为抽取的第i个s?(xi?x)?(?xi?16x2)?0.212，??16i?116i?116i?1零件的尺寸，i?1,2,???,16．
?，用样本标准差s作为?的估计值??，利用估计值判断是否需对当天的用样本平均数x作为?的估计值???3??,???3??)之外的数据，用剩下的数据估计?和?（精确到0.01）． 生产过程进行检查？剔除(?2附：若随机变量Z服从正态分布N(?,?)，则P(??3??Z???3?)?0.997 4，
0.997 416?0.959 2，0.008?0.09．
6.(2016高考新课标I，理19)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. （I）求X的分布列；
（II）若要求P(X?n)?0.5，确定n的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n?19与n?20之中选其一，应选用哪个？ 7.(2016高考新课标II，理18)某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 保 费 0 0.85a 1 a 2 1.25a 3 1.5a 4 1.75a ?5 2a
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