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再由xn?1?xn(3?xn)两边命n??取极限，得a?a(3?a),a?3. 23或a?0， 2但因xn?0且单调增加，故a?0，所以a?九、（本题满分8分）
2alnb?lna1???设0?a?b，证明不等式2a?b2b?aab
【考点】函数单调性的判别 【难易度】★★★
【详解】解析：左、右两个不等式分别考虑 先证左边不等式，
方法1：由所证的形式想到试用拉格朗日中值定理.
lnb?lna?(lnx)?b?ax???1?,0?a???b.而
221??12a?2. ba?b2其中第二个不等式来自不等式a?b?2ab（当0?a?b时），这样就证明了要证明的左边. 方法2：用单调性证，将b改写为x并移项，命?(x)?lnx?lna?2a(x?a)，有?(a)?0.
a2?x2(x?a)24ax(x?a)12a4ax(x?a)??0（当0?a?x）??(x)??22?222?， 22222x(a?x)(a?x)xa?x(a?x)而推知当x?a?0时?(x)?0，以x?b代入即得证明.
再证右边不等式，用单调性证，将b改写为x并移项，命?(x)?lnx?lna?1(x?a), ax111a(x?a)2有?(a)?0，及??(x)??(?)???0,
xa2x2xx2xax所以当x?a?0时，?(x)?0，再以x?b代入，便得
lnb?lna?右边证毕.
1lnb?lna1(b?a),即?. b?aabab十、（本题满分8分）
设函数f(x)在x?0的某邻域内具有二阶连续导数，且f(0)?0,f?(0)?0,f??(0)?0.
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证明：存在惟一的一组实数?1,?2,?3，使得当h?0时，?1f(h)??2f(2h)??3f(3h)?f(0)是比
h2高阶的无穷小．
【考点】无穷小的比较，洛必达法则 【难易度】★★★
【详解】解析：方法1：由题目，去证存在唯一的一组?1,?2,?3,
L?limh?0?1f(h)??2f(2h)??3f(3h)?f(0)h2?0
由此知，分子极限应为0，由f(x)在x?0连续，于是推知，应有
1. （1） ?1??2??3?由洛必达法则，L?limh?0?1f(h)??2f(2h)??3f(3h)?f(0)2h?f?(h)?2?2f?(2h)?3?3f?(3h) （2） ?lim1h?02h
分子的极限为lim(?1f?(h)?2?2f?(2h)?3?3f?(3h))?(?1?2?2?3?3)f?(0)，
h?0若不为0，则式（1）应为?，与原设为0矛盾，故分子的极限应是0，即 ?1?2?2?3?3?0 （3） 对（2）再用洛必达法则，
L?limh?0?1f??(h)?4?2f??(2h)?9?3f??(3h)21?(?1?4?2?9?3)f??(0) 2由f??(0)?0，故应有 ?1?4?2?9?3?0 （4）
111将（1）、（3）、（4）联立解之，由于系数行列式123?2?0,
149由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕. 方法2：由佩亚诺余项泰勒公式
f(h)?f(0)?f?(0)h?1f??(0)h2?o1(h2), 2f(2h)?f(0)?2f?(0)h?2f??(0)h2?o2(h2),
f(3h)?f(0)?3f?(0)h? 代入
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9f??(0)h2?o3(h2), 2实用标准文档
0?limh?0?1f(h)??2f(2h)??3f(3h)?f(0)h2
1?2???(??????1)f(0)?(??2??3?)f(0)h?(??4??9?)f(0)h123123123?2?lim? 2h?0h???上面??1o1(h2)??2o2(h2)??3o3(h2)?h2?， ??中第二项极限为0，所以第一项中应有
111??1??2??3?1???1?2?2?3?3?0 由于系数行列式123?2?0, ???4??9??014923?1由克莱姆法则知，存在唯一的一组解满足题设要求，证毕. 十一、（本题满分6分）
已知A,B为3阶矩阵，且满足2AB?B?4E，其中E是3阶单位矩阵． （1）证明：矩阵A?2E可逆；
?1?1?20???，求矩阵A．
20（2）若B?1????002??【考点】逆矩阵的概念、矩阵的计算 【难易度】★★★
【详解】本题涉及到的主要知识点： 若有AB?E则称A,B互逆.
解析：（1）由题设条件2AB?B?4E
两边左乘A，得 2B?AB?4A 即 AB?2B?4A
?1(A?2E)B?4A?8E?8E?4(A?2E)?8E (A?2E)(B?4E)?8E
1(A?2E)(B?4E)?E
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得证A?2E可逆（且(A?2E)(2) 方法1：由（1）结果知
?11?(B?4E)）. 8?1?(A?2E)??(B?4E)??8(B?4E)?1
?8?
?1E A?8(B?4E)?2
?1?1?20??400???3?20????040???1?20?
B?4E??120????????002????004????00?2????3?20100??1?20010????1?20010??3?20100?B?4EE??????? ??00?2001????00?2001???????10??1?20010??1?200????13??0?80130??010??0?
??88?0011??0011?00????00??2???2????1??4?1001??010??8?001?0??143?80?0??0? ??1??2???1??4?1?1故 (B?4E)????8??0??143?80?0??0? ?1???2???020??.
A?8(B?4E)?1?2E???1?10????00?2??方法2：由题设条件 2AB?B?4E
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等式两边左乘A，得 2B?A(B?4E)
则A?2B(B?4E)（求(B?4E)过程见方法1）
?1?1?1??4?1?20????1 ?2120?????8??002????0??143?80?0??1?20???220??1???1?30? 0???120????4???002????00?4??1???2???080??020?1????1?10?. ???4?40???4???00?8????00?2?? 十二、（本题满分6分）
已知4阶方阵A?(?1,?2,?3,?4),?1,?2,?3,?4均为4维列向量，其中?2,?3,?4线性无关，
?1?2?2??3,如果???1??2??3??4，求线性方程组Ax??的通解．
【考点】线性方程组解的性质和解的结构、非齐次线性方程组的基础解系和通解 【难易度】★★★★
【详解】解析：方法1：由?2,?3,?4线性无关，及?1?2?2??3?0?4,即?1,?2,?3,?4线性相关，及???1??2??3??4知r??1,?2,?3,?4??r(A)?3?r?A????r??1,?2,?3,?4,??
?故Ax??有解，且其通解为k???，其中k?是对应齐次方程Ax?0的通解，?是Ax??的一个特解,
因 ?1?2?2??3?0?4,
?1???2?故 ?1?2?2??3?0?4???1,?2,?3,?4????0
?1????0?故???1,?2,1,0?是Ax?0的基础解系.
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