2016年第七届全国大学生数学竞赛决赛
（非数学专业）参考答案
一、填空题
(1) 【参考解答】：令y??p，则y???p??p，这是可分离变量的微分方程，有到?p
3
dpp
3
?dx，积分得
1
2
?2
?x?C1，即p?y??
?12?C1?x?，积分得y?C2?2(C1?x). (2)【参考解答】：利用对称性和极坐标，有
I?4e
4
?0
?
2
2
d??rsin?e
2
2
1
?r2
?44?u?
rdr?e?uedu?(2e3?5).
122
(3)【参考解答】：dx?ftdt,dy?f?tdt，所以
2
?f??t?????ftft?ft?????? ?dydyd?dt???, ??.??23??dxdt?f?t?dxf?t??f?t???dx
????f??t?2
(4)【参考解答】：fA?f?1f?2?f?n.
????????????
??1111???(5)【参考解答】：?n!e??n!?2?????o?? ????2!n!??n?1?!???n?1?!?????
?1????o? ??an? ????n?1n?1??
其中an为整数，并且当n?2k时
?2k?!f?2k??2??2k?!?????
2!3!?2k?!
?2??2k?!??2k??2k?1??3????2k??1
?2k?1?!?2k?1?!
2!
?
3!
?2k?!?2k?!
为奇数
f?2k?1??2??2k?1?!?
?2k?1?!
???
?2k?1?!
?2??2k?1?!??2k?1??2k??3????2k?1??1
为偶数. 所以
????1????limnsin(?n!e)??lim?nsin??o()??????.
?n???n??n?1??n?1????
即极限不存在，如果加上绝对值则极限存在等于?.
1
?x?ay?b?
?,二、【参考证明】：记F?x,y,z??f?，则 ????z?cz?c??
?取曲面的法向量
??
???x?af?y?bf????f1f2??12? Fx,Fy,Fz??,,??2??z?cz?c?????z?c???
??
n??z?c?f1,?z?c?f2,??x?a?f1??y?b?f2.
????????z?c?f??X?c????z?c?f??Y?y?1?2???????
?????x?a?f1??y?b?f2??Z?z??0??
容易验证，对任意?x,y,z??z?c?,?X,Y,Z???a,b,c?都满足上述切平面方程.
a,b??上连续，知f?x?在??a,b??上可积. 三、【参考证明】：由f?x?在????????b
记x,y,z为曲面上的点，X,Y,Z为切面上的点，则曲面上过点x,y,z的切平面方程为
令Fx?
b
???f?t?dt，则F??x???f?x?. 由此，
x
bbb?b?
??
2?f?x??f?t?dt?dx?2?f?x?F?x?dx??2?F?x?F??x?dx??2?F?x?dF?x??????
???x?aaaa
?b?2??222???F2?x?b?Fb?Fa?Fa?fx????????????a?????a?
四、【参考证明】：要证明不等式成立，即要证明
?ABCO?
??? R?AB??R?BC??R?B??R?ABC??R??O?B????
?EA??ABCO??EO??OAB?????????mq???????由于? ?????????OEOB?CE?BCB????????n??p??????
?O?ABO?AB??O?Eq???????????? ?????????BCBEOBBC?????????p???
?EA??EO??O?E??m????qq??????且?可逆，所以 ,,??????OE?CEEO??????n??p??p??
?ABCO??ABO????????R??R?R?AB??R?BC?. ?O???B?BC??????B?
?4?4五【参考解答】：(1) In?In?2?
?
0
tannxdx??tann?2xdx
0
2
?4
?
?
0
tann?2xd?tanx??
1
tann?1xn?1
?40
?
1
n?1
(2) 由于0?x?
?
, 所以0?tanx?1，tann?2x?tannx?tann?2x. 从而 4
In?2?In?In?2,
p
??p??1111p???In?,??I??. ????n????（2n?1)2(n?1)?（2n?1)??2(n?1)?
于是In?2?In?2In?In?2?In，
当p?1时，?1对收敛.
??p
p
In
?
pIn
?
12?n?1?p
p
,(n?2). 由?
?
1
n?2
?n?1?p
收敛，所以
n?1
???1??
n
p绝In
当0?p?1时，由于
p
而In
??pIn
单调减少，并趋近于0，由莱布尼兹判别法，知
?
n?1
???1??
n
p
收敛. In
?
12p?n?1?p
In
p
11
??,2pn?12p
1
?
np1
?(n?1)发散，所以???1?In是条件收敛的. n?1n?1
?
n
当p?0时，则
p
发散. ?1，由级数收敛的必要条件，知???1?In
n?1
六、【参考证明】：记上半球面S的底平面为D，方向向下，S和D围成的区域记为?，由高斯公式得
?
???????????SD
由于
D
???P?R????Pdydz?Rdxdy??????dV ???????z???x???
D
??Pdydz?Rdxdy????Rd?和题设条件，其中d?是xOy平面上的面积微元，则有
???Rd??
D
???
?
??P?R?
???dV ?*? ????z???x?
注意到上式对任何r?0成立，由此证明Rx0,y0,z0?0.
若不然，设Rx0,y0,z0?0，注意到
D
????2
Rd??R?,?,z?r,其中??,?,z0??D， ????0
而当r?0,R?,?,z0?Rx0,y0,z0， 故?*?左端为一个二阶的无穷小. 类似地，当
?
?????P?x0,y0,z0??x
?
?R?x0,y0,z0??z
?0，
???
?
??P?R?
???dV是一个3阶的无穷小；而当 ?????z???x
3
?P?x0,y0,z0??x
?
?R?x0,y0,z0??z
?0，
该积分趋于0的阶高于3. 因此?*?式右端阶高于左端，从而当r很小时，有
??Rd?????
D
?
??P?R????dV， ?????z???x
这与?*?矛盾.
由于在任何点Rx0,y0,z0?0，故Rx,y,z?0. 代入入?*?式得到
???????
重复前面的证明可知
?P?x,y,z??x
dV?0
?P?x0,y0,z0??x
?
?0. 由?x0,y0,z0?的任意性得
?P
?0. ?x
4
【全国大学生数学竞赛真题试卷】2016年03月-非数学类参考解答-第七届全国决赛试卷
