习题三
1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与
出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： Y X 0 0 1 2 3 1 3 1113C1g??? 322280 1 8110 21C3g???3/8 22211110 ??? 2228
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： Y X 0 0 1 0 2 22C3gC23 ?4C7352C3gC1C1122g2 ?4C73522C3gC23 ?4C7353 0 C3C123g2 ?4C735C3C123g2 ?4C7350 1 0 2C1C1C263g2g ?4C7352C1C2gC163g2 ?4C7352 P(0黑,2红,2白)= 4C2C22g2/C7?1 35
3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
ππ??sinxsiny,0?x?,0?y?F（x，y）=?22
?其他.?0,求二维随机变量（X，Y）在长方形域?0?x?【解】如图P{0?X???πππ?,?y??内的概率. 463?πππ,?Y?}公式(3.2) 463ππππππF(,)?F(,)?F(0,)?F(0,) 434636
1
?sinπ4gsinπ3?sinπ4gsinπ6?sin0gsinπ3?sin0gsinπ6?2
4(3?1).
题3图
说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度
?Ae?(3x?4y)f（x，y）=?,x?0,y?0,?0,其他.
求：（1） 常数A；
（2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1） 由
??????????f(x,y)dxdy????-(3x?4y)0???0Aedxdy?A12?1 得 A=12 （2） 由定义，有 F(x,y)??y?x????f(u,v)dudv
?yy?(3u?4v) ????0?012edudv???(1?e?3x)(1?e?4y)y?0,x?0,??0,?0,其他(3) P{0?X?1,0?Y?2}
?P{0?X?1,0?Y?2}
??120?012e?(3x?4y)dxdy?(1?e?3)(1?e?8)?0.9499.
5.设随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=??k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,?0,其他.
（1） 确定常数k；
（2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X<1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有
2
??????????f(x,y)dxdy??
20?42k(6?x?y)dydx?8k?1,
故 R?
18
（2） P{X?1,Y?3}? ?(3) P{X?1.5}???1313????f(x,y)dydx
x?1.5??13 k(6?x?y)dydx??0?288f(x,y)dxdy如图a??f(x,y)dxdy
D1 ??1.50dx?(4) P{X?Y?4}? ?X?Y?4??2127(6?x?y)dy?. 2832f(x,y)dxdy如图b??f(x,y)dxdy
4D2?0dx?4?x212(6?x?y)dy?. 83
题5图
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为
?5e?5y,y?0,fY（y）=?
0,其他.?求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.
题6图
【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为
?1?,0?x?0.2, fX(x)??0.2?其他.?0,而
3
?5e?5y,y?0, fY(y)??其他.?0,所以
f(x,y)X,Y独立fX(x)gfY(y)
?1?5y ????5e?25e?5y,0?x?0.2且y?0,?0.2?? ?0,?0,其他.(2) P(Y?X)?f(x,y)dxdy如图y???x??25e?5ydxdy
D??0.20dx?x25e-5ydy??0.2
00(?5e?5x?5)dx
=e-1?0.3679.7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
F（x，y）=??(1?e?4x)(1?e?2y),x?0,y?0,?0,其他.求（X，Y）的联合分布密度.
【解】f(x,y)??2F(x,y)?8e?(4x?2y),x?0,y?0,?x?y?? ?0,其他.8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=??4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x,?0,其他.求边缘概率密度. 【解】fX(x)??????f(x,y)dy
? =???xy(2?x)dy??2.4x204.8(2?x),0?x?1, ???0,?0,其他. f??Y(y)????f(x,y)dx
?1 =???y4.8y(2?x)dx??2.4y(3?4y?y2),0?y???1,?0,?0,其他.
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题8图 题9图
9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
（x，y）=??e?yf,0?x?y,?0,其他.
求边缘概率密度. 【解】fX(x)??????f(x,y)dy
????y?x =???xedy??e,x?0,?? ?0,?0,其他.fY(y)??????f(x,y)dx
?y?y?x =???0edx??ye,y?0,?? ?0,?0,其他.
题10图
10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=??cx2y,x2?y?1,0,
?其他.（1） 试确定常数c；
（2） 求边缘概率密度. 【解】（1）
??????????f(x,y)dxdy如图??f(x,y)dxdy
D =?1124-1dx?x2cxydy?21c?1. 得
c?214. (2) fX(x)??????f(x,y)dy
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概率论与数理统计课后答案 北邮版 (第三章)
