高考数学专题：导数大题专练
1. 已知函数f?x???x?2?ex?a?x?1?有两个零点. (I)求a的取值范围；
(II)设x1，x2是f?x?的两个零点，证明：x1?x2?2.
2. (I)讨论函数f(x)?2x?2xe的单调性，并证明当x?0时，(x?2)ex?x?2?0; x?2ex?ax?agx）=(x?0) 有最小值.设g?x?的最小值为h(a)，求函数h(a)的(II)证明：当a?[0,1) 时，函数（2x值域.
3. 设设函数f?x???cos2x????1??cosx+1?，其中??0，记（Ⅰ）求f（； 'x）（Ⅱ）求A；
（Ⅲ）证明f'?x??2A.
4. 设函数f?x??xea?x?bx，曲线y?f?x?在点 ?2,f?2??处的切线方程为y??e?1?x?4，
（I）求a,b的值；
(I I) 求f?x?的单调区间。
5. 已知函数f(x)?a?b(a?0,b?0,a?1,b?1). （1） 设a?2，b?xxf?x?的最大值为A.
1. 2① 求方程f(x)=2的根;
②若对任意x?R,不等式f(2x)?mf(x)?6恒成立，求实数m的最大值；
1，函数g?x??f?x??2有且只有1个零点，求ab的值. （2）若0?a?1,b＞
6. 已知f(x)?a?x?lnx??（I）讨论f(x)的单调性；
（II）当a?1时，证明f(x)＞f'?x??
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2x?1,a?R. 2x3对于任意的x??1,2?成立 27. 已知a?R，函数f(x)?log2(1?a). x（1）当a?5时，解不等式f(x)?0；
（2）若关于x的方程f(x)?log2[(a?4)x?2a?5]?0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；
（3）设a?0，若对任意t?[,1]，函数f(x)在区间[t,t?1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.
8. 设函数f?x??ax2?a?lnx，其中a?R. （I）讨论f?x?的单调性；
（II）确定a的所有可能取值，使得f(x)?
9. 设函数f(x)?(x?1)?ax?b，x?R，其中a，b?R.
（Ⅰ）求f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若f(x)存在极值点x0，且f(x1)?f(x0)，其中x1?x0，求证：x1?2x0?3； （Ⅲ）设a＞0，函数g(x)?f(x)，求证：g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于．．．
10. 设a?3，函数F(x)?min{2|x?1|,x?2ax?4a?2},
21211?x内恒成立(e?2.718?为自然对数的底数)。 ?e在区间（1，??）x314
?p,p?q其中min?p,q???
q,p?q?（Ⅰ）求使得等式F(x)?x?2ax?4a?2成立的x的取值范围 （Ⅱ）（i）求F(x)的最小值m(a)
（ii）求F(x)在[0,6]上的最大值M(a)
答案
1. （本小题满分12分）
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2xx解：（Ⅰ）f'(x)?(x?1)e?2a(x?1)?(x?1)(e?2a)．
x（i）设a?0，则f(x)?(x?2)e，f(x)只有一个零点．
（ii）设a?0，则当x?(??,1)时，f'(x)?0；当x?(1,??)时，f'(x)?0．所以f(x)在(??,1)上单调递减，在(1,??)上单调递增．
又f(1)??e，f(2)?a，取b满足b?0且b?lna，则 2f(b)?a3(b?2)?a(b?1)2?a(b2?b)?0， 22故f(x)存在两个零点．
（iii）设a?0，由f'(x)?0得x?1或x?ln(?2a)． 若a??e，则ln(?2a)?1，故当x?(1,??)时，f'(x)?0，因此f(x)在(1,??)上单调递增．又当x?1时，2f(x)?0，所以f(x)不存在两个零点．
若a??e，则ln(?2a)?1，故当x?(1,ln(?2a))时，f'(x)?0；当x?(ln(?2a),??)时，f'(x)?0．因此f(x)2在(1,ln(?2a))单调递减，在(ln(?2a),??)单调递增．又当x?1时，f(x)?0，所以f(x)不存在两个零点． 综上，a的取值范围为(0,??)．
（Ⅱ）不妨设x1?x2，由（Ⅰ）知x1?(??,1),x2?(1,??)，2?x2?(??,1)，f(x)在(??,1)上单调递减，所以
x1?x2?2等价于f(x1)?f(2?x2)，即f(2?x2)?0．
由于f(2?x2)??x2e2?x2?a(x2?1)2，而f(x2)?(x2?2)ex2?a(x2?1)2?0，所以
f(2?x2)??x2e2?x2?(x2?2)ex2．
设g(x)??xe2?x?(x?2)ex，则g'(x)?(x?1)(e2?x?ex)．
所以当x?1时，g'(x)?0，而g(1)?0，故当x?1时，g(x)?0． 从而g(x2)?f(2?x2)?0，故x1?x2?2．
1e22. 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)(,]..
24【解析】
试题分析：(Ⅰ)先求定义域，用导数法求函数的单调性，当x?(0,??)时，f(x)?f(0)证明结论；(Ⅱ)用导数法
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