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特点
输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。
实例
电动机角速度与角空间的传递函数、模拟计算机中的积分器等。
4. 微分环节
微分方程及拉氏变换式
c(t) =T(dr(t)/dt)，C(s)=TsR(s) (2.4.11)
传递函数
G(s)=C(s)/R(s)=Ts (2.4.12)
特点
微分环节的输出量与输入量对时间的微分成正比，即输出反映了输入信号的变化率，而不反映输入量本身的大小。
实例
实际中不存在纯粹的微分环节，它总是与其它环节并存。实际可实现的微分环节都具有一定的惯性，其传递函数为
G(s)=C(s)/R(s)=Ts/(Ts+1) (2.4.13)
5. 振荡环节
微分方程及拉氏变换式
d2c(t)dc(t)T?2?T?c(t)?r(t)，(T2s2+2ξTs+1)C(s)=R(s) (2.4.14) 2dtdt2传递函数
G(s)=C(s)/R(s)=1/(T2s2+2ξTs+1) (2.4.15)
可变形为
G(s)=(1/T2)/[s2+(2ξ/T)s+1/T2]=ω2n/(s2+2ξωns+ω2n) (2.4.16)
其中，T为时间常数，ξ为阻尼比，ωn为系统的自然振荡角(圆)频率(无阻尼自振荡角频率)，且有
T=1/ωn (2.4.17)
特点
振荡环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。
实例
RLC电路的输出与输入电压间的传递函数，以及机械阻尼系统的传递函数。
6. 延迟环节
微分方程及拉氏变换式
c(t) =r(t-τ)，C(s)=e-τsR(s) (2.4.18)
传递函数
G(s)=C(s)/R(s)=e-τs=1/eτs (2.4.19)
特点
延迟环节的输出波形与输入波形相同，但延迟了时间τ。延迟环节的存在对系统的稳定性不利。
实例
管道压力、流量等物理量的控制其数学模型就包含有延迟环节。
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§5 动态结构图
一. 动态结构图的定义
1. 动态结构图的概念
前面已经介绍了方块图和传递函数的概念。方块图能清楚地表明信号在系统中的传递方
向，而传递函数又能明确地表明信号传递过程中的数学关系。如果把两者结合起来，即把组成系统的各个环节用方块图表示，在方块图内标出各环节的传递函数，并将各环节的输入量、输出量改用拉氏变换来表示。这种图形称为动态结构图，简称结构图。如果按照信号的传递方向将各环节的结构图依次连接起来，形成一个整体，这就是系统的结构图。它能更本质地反映系统中各环节间的相互作用及信号传递关系，是一种能描述系统动态特性的数学图形，具有简明、形象、直观、运算方便的优点。在控制系统中得到了广泛的应用。
2. 动态结构图的构成
动态结构图由如下四种基本图形符号组成，称为结构图的四要素。
(1) 信号线
信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数，如图2.5.1(a)所示。
(2) 引出点
表示信号引出或测量的位置即为引出点。从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同，如图2.5.1(b)所示。
(3) 综合点(比较点或相加点)
综合点是对两个或两个以上性质相同的信号进行取代数和的运算的点。参与相加运算的信号应标明“+”号，相减运算的信号应标出“-”号。有时“+”号可省略，但“-”号必须标明，如图2.5.1(c)所示。
(4) 函数方块
函数方块用来表示元件或环节输入、输出变量之间的函数关系。方块内要填写元件或环节的传递函数，如图2.5.1(d)所示。
图2.5.1 结构图四要素
二. 动态结构图的建立
1. 绘制动态结构图的基本步骤
绘制动态结构图的一般步骤如下。
(1) 明确系统的输入量和输出量，确定各元件或环节的传递函数。
(2) 绘出各环节的方块图，在其中标出传递函数，并将信号的拉氏变换标在信号线附近。 (3) 按照系统中信号的传递顺序，依次将各环节方块图连接起来，便构成系统结构图。
2. 实例
例2.5.1 已知RC阻容网络如图2.5.2所示，其中ur为输入量，uc为输出量，试画出
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该网络的动态结构图。
图2.5.2 RC电路 图2.5.3 RC电路结构图
解 该网络系统的输入量为ur，输出量为uc，其遵循的电路原理为
?u?Ri?uc??r??uc?1idt?C??i?1(ur?uc)R
对以上标准微分方程组进行拉氏变换，得标准变换方程组
1?I(s)?[Ur(s)?Uc(s)]??R ??Uc(s)?1I(s)?Cs?从输入端开始，依次画出各个子变换方程输入量、输出量关系的传递函数方块图，并连
接系统中的各同名信号线，得图2.5.3所示的结构图。
三. 动态结构图的等效变换
1. 等效原则
利用结构图分析和设计系统时，常常要对结构图进行简化和变换。对结构图进行简化和变换的基本原则是等效原则，即对结构图任何部分进行变换时，变换前后该部分的输入量、输出量及其相互之间的数学关系应保持不变。
以下是根据等效原则给出的几条结构图的变换规则。
2. 变换规则
(1) 串联(开环)环节的等效变换
图2.5.4 环节串联
几个环节的结构图首尾连接，前一个结构图的输出是后一个结构图的输入，称这种结构为串联环节。图2.5.4(a)所示的是两个环节串联的结构，有
U(s)=G1(s)R(s)，C(s)=G2(s)U(s)
由上两式消去U(s)，得
G(s)=C(s)/R(s)=G1(s)G2(s)
其结构等效图如图所示2.5.4(b)。由此可得出，串联环节的等效传递函数等于各相串联环节传递函数的乘积，即有
G(s)??Gi(s) (2.5.1)
i?1n (2) 并联环节的等效变换
两个及两个以上环节具有同一个输入信号，而以各自环节输出信号的代数和作为总输出 .
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信号的结构称为并联环节。图2.5.5(a)所示的是两个环节的并联结构图。由图得
C1(s)=G1(s)R(s)，C2(s)=G2(s)R(s)，C(s)=C1(s)±C2(s)
由上述三式可得
G(s)=C(s)/R(s)=C1(s)±C2(s)
其等效结构图如图2.5.5(b)所示。由此可见，并联环节的等效传递函数等于各并联环的传递函数的代数和，即有
G(s)??Gi(s) (2.5.2)
i?1n
图2.5.5 环节并联
(3) 反馈(闭环)连接的等效变换
若传递函数分别为G(s)和H(s)的两个方块图如图2.5.6(a)形式连接，则称为反镑接。“+”号为正反馈，表示输入信号与反馈信号相加；“-”号为负反馈，表示输入信与反馈信号相减。由2.5.6图(a)，有
C(s)=G(s)E(s)，B(s)=H(s)C(s)，E(s)=R(s)±B(s)
消去中间变量E(s)和B(s)，得
G(s)G(s) (2.5.3) C(s)?R(s)?Φ(s)R(s)，Φ(s)?1?G(s)H(s)1?G(s)H(s)式中Φ(s)称为闭环传递函数，是反馈连接的等效传递函数，式中负号对应正反馈连接，
正号对应负反馈连接。反馈连接的等效变换如图2.5.6(b)所示。
图2.5.6 环节反馈
(4) 综合点和引出点的移动
在结构图的变换中经常要求改变综合点和引出点的位置。一般包括综合点前移、综合点后移、引出点前移、引出点后移、相邻综合点和相邻引出点之间的移动。
(a) 综合点前移 图2.5.7(a)和图2.5.7(b)分别表示综合点前移变换前后的系统结构图。
图2.5.7 综合点前移
可以看出两图具有如下相同的输入、输出关系
C(s)=R(s)G(s)±F(s)=[R(s)±F(s)/G(s)]G(s)
(b) 综合点后移 图2.5.8(a)和图2.5.8(b)分别表示综合点后移变换前后的系统结构图。
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图2.5.8 综合点后移
可以看出两图具有如下相同的输入、输出关系
C(s)=[R(s)±F(s)]G(s)=R(s)G(s)±F(s)G(s)
(c) 引出点前移 图2.5.9(a)和图2.5.9(b)分别表示引出点前移变换前后的系统结构图。
图2.5.9 引出点前移
可以看出两图具有如下相同的输入、输出关系
C(s)=R(s)G(s)
(d) 引出点后移 图2.5.10(a)和图2.5.10(b)分别表示引出点后移变换前后的系统结构
图。
图2.5.10 引出点后移
可以看出两图具有如下相同的输入、输出关系
C(s)=R(s)G(s)，R(s)=R(s)G(s)·1/G(s)
(e) 相邻综合点之间的移动和合并 图2.5.11(a)和图2.5.11(b)表示相邻综合点之间
可以互换位置或进行合并，不会改变该结构输入和输出信号之间的关系。
C(s)=E(s)±R3(s)=R1(s)±R2(s)±R3(s)=R1(s)±R3(s)±R2(s)
图2.5.11 相邻综合点间的移动与合并
(f) 相邻引出点之间的移动 从一个信号流线上无论引出多少条信号线，它们都代
表同一个信号，所以在一条信号线上的各引出点之间的位置可以随意改变，效果都是等效的，
如图2.5.12(a)和图2.5.12(b)所示。
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第2章 控制系统的数学模型
