第2章 控制系统的数学模型

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§3 Laplace变换及应用

一. Laplace变换的定义

设实变量函数f(t)(t≥0)在任一有限区间上分段连续，且存在一正实常数σ，使得

lime?σtf(t)?0，则函数f(t)的Laplace变换存在，并定义为

t??F(s)=L[f(t)]=

???0f(t)e?stdt (2.3.1)

Laplace变换将实变量函数f(t)变换为复变量函数F(s)。F(s)称为f(t)的象函数，f(t)称为

F(s)的原函数。Laplace变换简称为拉氏变换，记为L。

二. 常用Laplace变换

常用Laplace变换见表2.3.1所示。

表2.3.1 常用Laplace变换

原函数 单位冲击函数δ(t) 单位阶跃函数1(t) 单位斜坡函数t 指数函数e-at 象函数 1 1/s 1/s2 1/(s+a) 原函数 幂函数tn(n为正整数) te-at sinωt cosωt 象函数 n!/sn+1 1/(s+a)2 ω/(s2+ω2) s/(s2+ω2) 三. Laplace变换基本法则

1. 线性定理

叠加性 两个函数和的拉氏变换等于每个函数的拉氏变换的和，即

L[f1(t)+f2(t)]=L[f1(t)]+L[f2(t)]=F1(s)+F2(s) (2.3.2)

齐次性 函数K倍的拉氏变换等于函数拉氏变换的K倍，即

L[Kf(t)]=KL[f(t)]=KF(s) (2.3.3)

2. 微分定理

初始条件为0时，一个函数导数的拉氏变换等于这个函数拉氏变换与s的导数幂次的积。即，如果初始条件为f(0)= f(1)(0)= f(2)(0)=…= f(n-1)(0)=0，则

L[f(k)(t)]=skL[f(t)]= skF(s) (k=0,1,…,n) (2.3.4)

3. 积分定理

一个函数积分的拉氏变换等于这个函数拉氏变换与s的积分幂次的商。即

L[???f(t)dtn]?00???nttL[f(t)]F(s)?n (2.3.5) nss4. 位移定理

如果f(t)的拉氏变换为F(s)，则

L[e-atf(t)]=F(s-a) (2.3.6)

5. 终值定理

函数的稳态值(t→∞时的数值)等于函数的拉氏变换与s的积当s→0时的极限值，即 .

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limf(t)?limsF(s) (2.3.7)

t??s?0四. Laplace反变换

1. 拉氏反变换的定义

由象函数求取原函数的运算称为拉氏反变换，记为L-1。其数学定义式为

f(t)=L-1[F(s)]=

12??c??c??F(s)estds (c为实常数) (2.3.8)

2. 拉氏反变换的一个重要性质

如果f(t)的拉氏变换F(s)已分解成分量形式F(s)=得，则

L-1[F(s)]=

?F(s)，且F(s)的拉氏反变换容易求

ini

i?1?Li?1n?1[Fi(s)]=?fi(s) (2.3.9)

i?1n3. 拉氏反变换的求取方法—部分分式展开法 (1) 定义法 即直接利用式(2.3.8)求取拉氏反变换。

(2) 性质法 即利用拉氏变换的基本法则求取拉氏反变换。

(3) 部分分式展开法 直接利用式(2.3.8)求取拉氏反变换往往较为复杂，利用拉氏变

换表是更为简便的方法。这就要求其拉氏变换式是表中可立即辨识的形式。工程实践中，常对不易辨识的函数先展开成部分分式的形式再利用式(2.3.9)求得拉氏反变换。

例2.3.1 试F(s)=(s+3)/(s2+3s+2)求的拉氏反变换。 解 将F(s)展开成部分分式

F(s)=(s+3)/(s2+3s+2)=(s+3)/(s+1)(s+2)=2/(s+1)-/(s+2)

所以

f(t)=2e-t-e-2t

例2.3.2 试求F(s)=(s+3)/(s2+2s+2)的拉氏反变换。 解 (1) 性质法

F(s)=(s+3)/[(s+1)2+1]=(s+1)/[(s+1)2+1]+2/[(s+1)2+1]

由位移定理得

f(t)=e-tcost+2e-2tsint

(2) 部分分式展开法

F(s)=(s+3)/[(s+1)2+1]=(0.5-j)/(s+1-j)+( 0.5+j)/(s+1+j)

所以

f(t)=(0.5-j)e-(1-j)t+(0.5+j)e-(1+j)t=e-t[0.5(ejt+e-jt)-j(ejt-e-jt)]=e-tcost+2e-2tsint

例2.3.3 试求F(s)=1/s2(s+1)的拉氏反变换。 解 f(t)为有重极点函数，展开成部分分式

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F(s)=1/s2-1/s+1/(s+1)

所以

f(t)=t-1+e-t

五. Laplace变换在解微分方程中的应用

1. 拉氏变换应用的意义

(1) 控制系统的数学模型最基本的描述方式是微分方程，因而求解微分方程是工程实践中必不可少的重要环节。用拉氏变换求解线性常系统所对应的线性常系数微分方程是工程实践中行之有效的简便方法。

通过拉氏变换可将指数函数、超越函数等变换为简单的代数函数，将微分方程变换为易求解的代数方程，从而将微分方程的求解变换为代数方程的求解。

(2) 利用拉氏变换可得控制系统在复数域的数学模型—传递函数。

2. 一般步骤

用拉氏变换求解线性常系数微分方程的一般步骤为 (1) 考虑初始条件，对微分方程进行拉氏变换，将时域的微分方程变换为s域的代数方程。 (2) 求解相应代数方程在s域的解。

(3) 求s域的解的拉氏反变换，得微分方程的解。

例2.3.4 设系统的微分方程为

d2c(t)dc(t)?2?2c(t)?r(t) dt2dt设初始条件为r(t)=δ(t)，c(0)=c′(0)=0，求系统的输出响应。

解 对系统对应的微分方程进行拉氏变换

s2C(s)+2sC(s)+2C(s)=R(s)

因L[r(t)]=R(s)=1，由上式可得

C(s)=1/(s2+2s+2)=1/(s+1)2+1

对上式取拉氏变换即得

c(t)=e-tsint

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§4 传递函数

一. 传递函数的意义

利用拉氏变换可得控制系统在复数域的数学模型—传递函数。传递函数不仅可表征系统

动态性能，还可用于研究系统的结构或参数的变化对系统性能的影响。经典控制理论中广泛应用的频率法和根轨迹法，即以传递函数为基础。传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。

二. 传递函数的定义

1. 概念

零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输出量拉氏变换之比称为传递函数。 系统的零初始条件有两方面的含义，一是指在t=-0时输入r(t)才开始作用于系统，因此，t=-0时，r(t)及其各阶导数均为零；二是指在t=-0时系统处于相对静止的状态，即系统在工作点上运行，因此t=-0时，c(t)输出及其各阶导数也均为零。现实的工程控制系统多属此类情况。

2. 传递函数的形式

n阶线性定常系统微分方程的一般形式为

c(n)(t)?a1c(n?1)(t)???an?1c(1)(t)?anc(t)?

b0r(m)(t)?b1r(m?1)(t)???bm?1r(1)(t)?bmr(t) (2.4.1)

其中，c(t)与r(t)分别为系统的输出量与输入量，系数a1、…、an和b0、b1、…、bm均为常数，不随时间而变化。在零初始条件下对(2.4.1)进行拉氏变换，得的代数方程

(sn+a1sn-1+…+an-1s+an)C(s)=(b0sm+b1sm-1+…+bm-1s+bm)R(s) (2.4.2)

将输出量和输入量两者的拉氏变换之比定义为该系统的传递函数G(s)，即

G(s)=C(s)/R(s)=(b0sm+b1sm-1+…+bm-1s+bm)/(sn+a1sn-1+…+an-1s+an) (2.4.3)

三. 传递函数的特性

传递函数具有以下特性

1. 传递函数的分母反映了由系统的结构与参数所决定的系统的固有特性，而其分子则反映了系统与外界之间的联系。传递函数只取决于系统的结构和参数，与外界输入信号无关。它表征了系统的固有特性，是一种用象函数来描述系统的数学模型。

2. 传递函数分子中s的阶次m不会大于分母中s的阶次n。这是由于实际系统总是具有惯性的，外部提供能源的功率也总是有限的。

3. 当系统在初始状态为零时，对于给定的输入，系统输出的拉氏变换完全取决于其传递函数。一旦系统的初始状态不为零，则传递函数不能完全反映系统的动态历程。

4. 传递函数有无量纲和取何种量纲，取决于系统输出的量纲与输入的量纲。

5. 不同用途、不同物理组成的不同类型系统、环节或元件，可以具有相同形式的传递函数。同一系统中，不同输出量对同一输入量之间的传递函数是不同的。

6. 传递函数具有符号。当输入量与输出量的变化同向时，对应传递函数具有“+”号，当输入量与输出量的变化反向时，对应传递函数具有“-”号。

7. 传递函数非常适用于单输入单输出线性定常系统的动态特性的描述。对多输入多输出 .

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系统，需要对不同的输入量和输出量分别求传递函数。

8. 系统传递函数只表示系统输入量和输出量的数学关系(描述系统的外部特性)，未表示系统中间变量之间的关系(描述系统的内部特性)。针对这个局限性，在现代控制理论中，往往采用状态空间描述法对系统的动态特性进行描述。

四. 传递函数的零点、极点和放大系数

1. 概念

传递函数是一个复变函数，一般具有零点、极点。根据复变函数知识，凡能使复变函数为0的点均称为零点；凡能使复变函数为趋于∞的点均称为极点。

将传递函数写成如下因式边乘积的形式

K(s?z1)(s?z2)?(s?zm) (n≥m) (2.4.4) G(s)?(s?p1)(s?p2)?(s?pn)其中，-z1,-z2,…,-zm为传递函数的零点，-p1,-p2,…,-pn为传递函数的极点，而将K 为系统的放大系数。

2. 零点和极点对系统动态性能的影响

传递函数的零点和极点的分布影响系统的动态性能。一般极点影响系统的稳定性，零点影响系统的瞬态响应曲线的形状。系统的放大系数决定了系统的稳态输出值。因此，对系统的研究可变成对系统传递函数的零点、极点和放大系数的研究。

五. 典型环节的传递函数

1. 比例环节

微分方程及拉氏变换式

c(t)=Kr(t)，C(s)=KR(s) (2.4.5)

传递函数

G(s)=C(s)/R(s)=K (2.4.6)

特点

比例环节的特点是其输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化，即信号的传递没有惯性。

实例

电子放大器、齿轮、电阻、感应式变送器等。

2. 惯性环节

微分方程及拉氏变换式

T(dc(t)/dt)+c(t)=Kr(t)，(Ts+1)C(s)=KR(s) (2.4.7)

传递函数

G(s)=C(s)/R(s)=K/(Ts+1) (2.4.8)

特点

惯性环节包含一个储能元件，对突变输入，其输出不能立即复现，输出无震荡。

实例

直流伺服电动机的励磁回路。

3. 积分环节

微分方程及拉氏变换式

T(dc(t)/dt)=Kr(t)，TsC(s)=R(s) (2.4.9)

传递函数

G(s)=C(s)/R(s)=1/Ts (2.4.10)

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