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第2章 控制系统的数学模型
§1 系统数学模型的基本概念
一. 系统模型
系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。
二. 系统数学模型
1. 系统数学模型
系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
2. 系统数学模型的分类
数学模型又包括静态模型和动态模型。
(1) 静态数学模型
静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
(2) 动态数学模型
描述变量各阶导数之间关系的微分方程。描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。微分方程或差分方程常用作动态数学模型。
动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。
三. 系统数学模型的形式
对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。对于线性系统，它们之间是等价的。但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。 .
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四. 系统数学模型的分类
1. 按描述方法分类
数学模型的表达虽有多种形式，但按描述方法总体上可分为以下三种。
(1) 外部描述法
外部描述法也称为输入输出描述法。它是将系统的输入与输出之间的关系用数学方式表达出来。如：微分方程、传递函数。
(2) 内部描述法
内部描述法也称为状态空间描述法。它不仅可以描述系统的输入与输出之间的关系，还可以描述系统的内部特性。
(3) 图形描述法
图形描述法即是用直观的方框图或信号流程图模型进行系统的描述。
2. 按变量范围分类
按变量的变化范围可分为以下三类。
(1) 时间域
微分方程(一阶微分方程组)、差分方程、状态方程
(2) 复数域
传递函数、结构图
(3) 频率域
频率特性
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§2 建立系统数学模型的基本方法
一. 系统模型建立的基本方法
系统建模是经典控制理论和现代控制理论的基础。建立系统数学模型的方法有分析法和实验辨识法两种。
1. 解析法
依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律，经过数学推导，列写出相应的数学关系式，建立模型。解析法主要用于对系统结构及参数的认识都比较清楚的简单系统。
2. 实验法
人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。实验法通常用于对系统结构和参数有所了解，而需进一步精化系统模型的情况。
对于复杂系统的建模往往是一个分析法与实验辨识法相结合的多次反复的过程。
二. 系统微分方程模型的建立
1. 系统微分方程模型
系统微分方程模型是最重要的一种模型。系统按其微分方程是否线性这一特性，可以分为线性系统和非线性系统。如果系统的运动状态能用线性微分方程表示，则此系统为线性系统。线性系统的一个最重要的特性就是满足叠加原理。线性系统又可分为线性定常系统和线性时变系统。线性定常系统是本课程中研究的重点。
设c(t)与r(t)分别为系统的输出量与输入量，n阶线性定常系统微分方程的一般形式为
c(n)(t)+a1c(n-1)(t)+…+an-1c(1)(t)+anc(t)=b0r(m)(t)+b1r(m-1)(t)+…+rm-1r(1)(t)+bmr(t) (2.2.1) 则称该系统为时不变线性系统，也称定常线性系统。通常n>m，表明系统是稳定的，即系统的输入不会使输出发散。系数a1、…、an和b0、b1、…、bm均为常数，不随时间而变化。
严格地说，很多物理系统是时变的，因为构成物理系统的材料、元件、部件的特性并非都是非常稳定的。它们的不稳定，会导致微分方程式系数的时变性。但是，在工程领域中，常常可以以足够的精确度认为常见的物理系统中的参数a1、…、an和b0、b1、…、bm是时不变的，从而把一些时变线性系统当作时不变线性系统来处理。本课程主要分析讨论线性时不变系统。
2. 系统微分方程的确定
列写系统或元件微分方程的一般步骤为：
(1) 分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量。根据需要可引入中间变量。
(2) 按照信号的传递顺序，从系统的输入端出发，根据有关定律，列写出各个环节的动态微分方程。
(3) 消除上述各方程式中的中间变量，最后得到只包含输入量与输出量的方程式。
(4) 将与输入有关的项写在微分方程的右边，与输出有关的项写在微分方程的左边，并且各阶导数项按降幂排列。
3. 系统微分方程的简化
在建模的过程中还要正确处理模型简化和模型精度的辨证关系，以建立简单且能满足要求的数学模型。数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进 .
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行折衷考虑。
(1) 线性化 如果系统中包含非本质非线性的元件或环节，而非线性系统的分析和综
合是非常复杂的，为研究系统方便，通常可将其进行线性化。线性化即是在一定条件下作某种近似或缩小系统工作范围，将非线性微分方程近似为线性微分方程进行处理。
非线性系统线性化的方法是将变量的非线性函数在系统某一工作点(或称平衡点)附近展开成泰勒级数，分解成这些变量在该工作点附近的微增量表达式，然后略去高于一阶增量的项，并将其写成增量坐标表示的微分方程。
对于实际系统而言，在一定条件下，采用线性化模型近似代替非线性模型进行处理，能够满足实际需要。
线性化方程的系数与平衡工作点的选择有关。线性化是有条件的，必须注意线性化方程适用的工作范围。某些典型的本质非线性，如继电器特性、间隙、死区、摩擦等，由于存在不连续点，不能通过泰勒展开进行线性化，只有当它们对系统影响很小时才能忽略不计，否则只能作为非线性问题处理。
(2) 系统阶次 通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的
独立储能元(惯性质量、弹性要素、电感、电容等)的个数；因为系统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量(信息)的交换。
(3) 动态特性 必须注意，系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构
及其参数，与系统的输入无关。
4. 确定系统微分方程常用定律
在列写微分方程的各步中，关键在于掌握组成系统的各个元件或环节所遵循的有关定律。对于机械类的读者，往往需要列写机械系统和电网络系统的微分方程，因此，有必要掌握如表2.2.1所示的常见元件的物理定律。
表2.2.1 常见元件的物理定律 系统类别 元件名称及代号 质量元件m 机械系统 (直线运动) 弹性元件k 阻尼元件c 电容C 电网络系统 电感L 电阻R f=k(x2- x1) 符号 所遵循的物理定律 ? f?m?x?2???1) f?c(?xx?2?v?1) i?C(v i?1(v2?v1) R三. 系统建模实例
例2.2.1 图2.2.1上由电阻R、电感L、电容C组成的无源网络，试列写其以ui(t)为
输入量，以为uo(t)输出量的网络微分方程。
解 设回路电流为i(t)，基尔霍夫电压定律可得回路方程为
Ldi(t)1??i(t)dt?Ri(t)?ui(t) dtC由消去中间变量i(t)，可得描述该无源网络输入输出关系的微分方程如下 .
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d2uo(t)duo(t)LC?RC?uo(t)?ui(t) 2dtdt
图2.2.1 RLC串联电路 图2.2.2 机械系统
例2.2.2 图2.2.2所示是一个由弹簧、质量物体和阻尼器所组成的机械系统。其中，
K为弹性系数，m为物体的质量，f为阻尼系数。
解 设外作用力F(t)为输入量，质量物体的位移y(t)为输出量。根据牛顿第二定律F＝
ma可知
F(t)-Ff(t)-FK(t)＝ma
其中：Ff(t)为阻尼器的粘性阻力，它与物体运动的速度成正比；FK(t)为弹簧的弹性力，它与物体的位移成正比；α为物体的加速度。即
2(t) Ff(t)= f dy(t)，FK(t)=K y(t)，α=dy2dtdt消除中间变量，将式子标准化即可得
d2y(t)dy(t)m?f?Ky(t)?F(t) 2dtdt
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第2章 控制系统的数学模型
