高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题2.14 超越方程反解难巧妙构造变简单
【题型综述】
导数研究超越方程
超越方程是包含超越函数的方程，也就是方程中有无法用自变数的多项式或开方表示的函数，与超越方程相对的是代数方程．超越方程的求解无法利用代数几何来进行．大部分的超越方程求解没有一般的公式，也很难求得解析解．
在探求诸如x?6x?9x?10?0，x?2lnx?x?2x?2方程的根的问题时，我们利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好的解决．
此类题的一般解题步骤是： 1、构造函数，并求其定义域． 2、求导数，得单调区间和极值点． 3、画出函数草图．
4、数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况求解．
【典例指引】
?2例1．已知函数f?x??ax?xlnx在x?e处取得极小值．
322（1）求实数a的值；
（2）设F?x??x??x?2?lnx?f?x?，其导函数为F??x?，若F?x?的图象交x轴于两点
2C?x1,0?,D?x2,0?且x1?x2，设线段CD的中点为N?s,0?，试问s是否为F??x??0的根？说明理由．
【思路引导】
?2（1）先求导数，再根据f?e?0，解得a?1，最后列表验证（2）即研究F?????x1?x2???0是否成立，2??因为F??4?x1?x2?22?x?x??1x?2lnx?x?0x，利用，1112?2lnx2?x2?0得?12x1?x2?2?2?t?1?4?x?x2?2?lnx1?lnx2??1，??lnt??0．所以F??1=0，转化为其?x1?x2x1?x2t?1?2?x1?x2?2?lnx1?lnx2?x1?x2中t?2?t?1?x1，最后利用导数研究函数u?t??lnt?单调性，确定方程解的情况
t?1x2
高考数学压轴题
（2）由（1）知函数F?x??x?2lnx?x．
2∵函数F?x?图象与x轴交于两个不同的点C?x1,0?,D?x2,0?，（ x1?x2）， ∴x1?2lnx1?x1?0，x2?2lnx2?x2?0． 两式相减得x1?x2?222?lnx1?lnx2?x1?x2?1 F??x??2x?2?1． x2?lnx1?lnx2?44?x?x?F??12??x1?x2??1?? ．
2x?xx?xx?x??121212下解2?lnx1?lnx2?x1?x2?x2?x1?x2?4?0．即ln1??0．
x1?x2x2x1?x22?t?1?x1令t?，∵0?x1?x2，∴0?t?1，即lnt??0．
x2t?1
高考数学压轴题
?t?1?． 14令u?t??lnt?，u??t????t?t?1?2t?t?1?2t?1又0?t?1，∴u??t??0，
∴u?t?在?0,1?上是増函数，则u?t??u?1??0， 从而知?2?t?1?22?lnx1?lnx2?4?x?x???0，故F??12??0，即F??s??0不成立．
x1?x2x1?x2?2?故s不是F??x??0的根． 例2．设函数f?x??lnx?12ax?bx 2（1）当a?3,b?2时，求函数f?x?的单调区间； （2）令F?x??f?x??12a1ax?bx?(0?x?3)，其图象上任意一点P?x0,y0?处切线的斜率k?恒成2x2立，求实数a的取值范围．
2?（3）当a?0,b??1时，方程f?x??mx在区间?1,e??内有唯一实数解，求实数m的取值范围．
【思路引导】
（1）先求导数f'?x?然后在函数的定义域内解不等式f'?x??0和f'?x?0,f'?x?0的区间为单调增区间，
f'?x??0的区间为单调减区间；（2）先构造函数F?x?再由以其图象上任意一点P?x0,y0?为切点的切线
的斜率k?11?12?恒成立，知导函数k?恒成立，再转化为a???x0?x0?求解；（3）先把握f?x??mx22?2?maxlnx有唯一实数解，再利用单调函数求解． x有唯一实数解，转化为m?1?
高考数学压轴题
高考数学压轴难题归纳总结提高培优专题2.14 超越方程反解难巧妙构造变简单
