2．2.1 向量的加法
1.了解向量加法的实际背景． 2.理解向量加法的几何意义． 3.掌握向量加法运
算法则．
1．向量加法的定义
→→→
已知向量a和b，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则向量OB叫做a与b的和，记作a→→→
＋b.即a＋b＝OA＋AB＝OB.求两个向量和的运算叫做向量的加法．
2．向量加法法则与运算律
三角形法则 →→→已知非零向量a和b，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，则向量OB叫作加法法则 a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝OA＋AB＝OB →→已知两个不共线的向量a、b，作OA＝a，OC＝b，以OA，OC为邻边作?OABC，平行四边形法则 →则以O为起点的对角线OB就是向量a与b的和 →→→ 运算律 交换律 结合律 a＋b＝b＋a a＋b＋c＝a＋(b＋c) 3.向量加法的运算性质 (1)设a为任一向量，则a＋0＝0＋a＝a． (2)对于相反向量，有a＋(－a)＝(－a)＋a＝0． (3)a与b互为相反向量?a＋b＝0?a＝－b?b＝－a．
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何两个向量的和仍然是一个向量．( ) (2)|a＋b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是a∥b.( ) (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( ) 解析：(1)正确．根据向量和的定义知该说法正确．
(2)错误．条件应为a∥b，且a，b的方向相同．
(3)错误．当两个向量共线时，两向量的和向量与这两个向量中的任意一个都共线． 答案：(1)√ (2)× (3)×
2．已知非零向量a，b，c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋
b)中，与向量a＋b＋c相等的个数为( )
A．2 C．4 答案：D
3．已知向量a表示“向东走3千米”，b表示“向南走3千米”，则a＋b表示________． 解析：由已知可利用向量加法的平行四边形法则，则a＋b表示的方向是东南方向，大小是32 千米．
答案：向东南走32 千米 4．化简： →→→(1)DC＋BA＋AD； →→→→(2)PQ＋OM＋QO＋MQ.
→→→→→→→→
解：(1)DC＋BA＋AD＝DC＋BD＝BD＋DC＝BC. →→→→(2)PQ＋OM＋QO＋MQ →→→→＝PQ＋QO＋OM＋MQ →→→＝PO＋OM＋MQ →→→＝PM＋MQ＝PQ.
已知向量作和向量
如图所示，已知向量a，b，c，试作出向量a＋b＋c.
→
【解】 法一：利用三角形法则作a＋b＋c，如图①所示，作OA＝a，以A为→→→→→→→→
起点，作AB＝b，再以B为起点，作BC＝c，则OC＝OB＋BC＝OA＋AB＋BC＝a＋b＋c.
B．3 D．5
→→→→→
法二：利用平行四边形法则作a＋b＋c，如图②所示，作OA＝a，OB＝b，OC＝c，以OA，OB为→→→→→→
邻边作?OADB，则OD＝a＋b，再以OD，OC为邻边作?ODEC，则OE＝OD＋OC＝a＋b＋c.
(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤
①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合．
②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和． (2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点． ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形．
③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．
1.如图，已知向量a、b，求作向量a＋b.
→→→
解：(1)作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，如图(1)． →→→
(2)作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，如图(2)． →→→
(3)作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，如图(3)．
向量的加法运算
→→→→→
化简：(1)BC＋AB；(2)DB＋CD＋BC； →→→→→(3)AB＋DF＋CD＋BC＋FA. →→→→→
【解】 (1)BC＋AB＝AB＋BC＝AC.
→→→→→→→→→(2)DB＋CD＋BC＝BC＋CD＋DB＝(BC＋CD)＋DB →→
＝BD＋DB＝0.
→→→→→(3)AB＋DF＋CD＋BC＋FA →→→→→＝AB＋BC＋CD＋DF＋FA →→→→＝AC＋CD＋DF＋FA →→→→→
＝AD＋DF＋FA＝AF＋FA＝0.
向量运算中化简的两种方法
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．
(2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简．
2.如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下
列各式：
→→→(1)DG＋EA＋CB； →→→→(2)EG＋CG＋DA＋EB.
→→→→→→→→→→→→
解：(1)DG＋EA＋CB＝GC＋BE＋CB＝GC＋CB＋BE＝GB＋BE＝GE. →→→→→→→→→→→→→
(2)EG＋CG＋DA＋EB＝EG＋GD＋DA＋AE＝ED＋DA＋AE＝EA＋AE＝0.
向量加法的应用
(1)如图，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|
＝24 N；绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|＝12 N，则F1与F2的合力大小为________N；方向为________．
(2)某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？
→
【解】 (1)如图，根据向量加法的平行四边形法则，得合力F1＋F2＝OC.
→
在△OAC中，|OA|＝24，
→→
|AC|＝12，∠OAC＝60°，所以∠OCA＝90°，|OC|＝123，
所以F1与F2的合力大小为123 N，方向为竖直向上．故填123和竖直向上．
→→→→
(2)如图，设此人游泳的速度为OB，水流的速度为OA，以OA，OB为邻边作?OACB，则此人的实际→→→速度为OA＋OB＝OC.
→
由勾股定理知|OC|＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．
应用向量加法解题的关键及技巧
(1)三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量．
(2)应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解．
3.一架飞机从A地沿北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，
然后又从B地沿南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．
→→
解：如图所示，设AB，BC分别表示飞机从A地沿北偏东35°的方向飞行800 km，从B地沿南偏东55°的方向飞行800 km.
→→→→→
则飞机飞行的路程指的是|AB|＋|BC|；两次飞行的位移的和指的是AB＋BC＝AC. →→
依题意，有|AB|＋|BC|＝800＋800＝1 600(km)． 又α＝35°，β＝55°， 所以∠ABC＝35°＋55°＝90°， →所以|AC|＝
2
2
→2→2|AB|＋|BC|
＝800＋800＝8002(km)． 其中∠BAC＝45°，
所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.
从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为8002 km，方向为北偏东80°.
1．向量加法的三角形法则和平行四边形法则
物理模型 使用条件 简记 三角形法则 位移的合成 任意两个非零向量 首尾相连，始终连线 平行四边形法则 力的合成 任意两个不共线的向量 共起点，为邻边，平行四边形共起点的对角线 2.对||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|成立的说明 (1)当a，b至少有一个为零向量时，不等式显然成立．
→→→
(2)当a，b不共线时，作OA＝a，AB＝b，则a＋b＝OB，如图①所示，根据三角形边长关系，有||a|－|b||＜|a＋b|＜|a|＋|b|.
2020学年高中数学第2章平面向量2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法学案苏教版必修4
