第三章 习题参考答案
1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。 解：由习题二第2题计算结果
p?p{??0}=，p?p{??1}=01123
3122E??0??1?? 得
333一般对0-1分布的随机变量?有E??p?p{??1}
2．用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值，一种是利用矩形长与宽的期望计算，另一种是利用周长期望的分布计算。 解：方法一：先按定义计算长的数学期望
E??29?0.3?30?0.5?31?0.2?29.9
和宽的数学期望
E??19?0.3?20?0.4?21?0.3?20
再利用数学期望的性质计算周长的数学期望
E??E(2??2?)?2?29.9?2?20?99.8
方法二：利用习题二地30题的计算结果(见下表)，按定义计算周长的数学期望
? 96 0.09 98 0.27 100 0.35 102 0.23 104 0.06 p E??96?0.09?98?0.27?100?0.35?102?0.23?104?0.06?98.83.对习题二第31题，（1）计算圆半径的期望值；（2）E(2?R)是否等于2?ER？（3）能否用?(ER)2来计算远面积的期望值，如果不能
用，又该如何计算？其结果是什么？
解（1）ER?10?0.1?11?0.4?12?0.3?13?0.2?11.6
（2）由数学期望的性质有
E(2?R)?2?ER?23.2?
（3）因为E(?R2)??E(R)2，所以不能用?E(R2)来计算圆面积
的期望值。利用随机变量函数的期望公式可求得
E(?R2)??E(R2)??(102?0.1?112?0.4?122?0.3?132?0.2)?135.4? 或者由习题二第31题计算结果，按求圆面积的数学期望
E??100??0.1?121??0.4?144?0.3?169?0.2)?135.4?
4． 连续随机变量?的概率密度为
?kxa,0?x?1(k,a?0) ?(x)??
?0,其它又知E??0.75 ，求k和a的值 解 由
k?1???0a?1
1k3E???kx?xadx??0a?24???(x)dx??kxadx?1 解得 a?2,k?3
5．计算服从拉普拉斯分布的随机变量的期望和方差（参看习题二第16题）。
解 因为奇函数在对称区域的积分为零，所以E???同样由偶函数在对称区域积分的性质可计算
????1xe?|x|dx?0，2D??E(?)??
2??????1?|x|xedx??x2e?xdx
022??xe|2?x??0?2???0xe?xdx?2
6题目略
解 (1)15辆车的里程均值为
1274(90?50?????150)??91.33 153 (2) 记?为从188辆汽车中任取一辆记录的里程数，则?的分布表如下表所示（a=188）
? 10 30 50 70 9 70 p 5/a 11/a 16/a 25/a 34/a 46/a 33/a 16/a 2/a 51124520?30??????170???96.17 18818818847故E??10?7题目略
解 记?为种子甲的每公顷产量，?为种子乙的每公顷产量，则
E??4500?0.12?4800?0.38?5100?0.4?5400?0.1?4944 E??4500?0.23?4800?0.24?5100?0.3?5400?0.23?4959
8．一个螺丝钉的重量是随机变量，期望值10g,标准差为1g,100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差个为多少（假设每个螺丝钉的重量都部首其他螺丝钉重量的影响）？
解 设?i为一盒中第i个螺丝钉的重量(i?1,2,???,100),则 题设条件为
E?i?10g,D?i?1g,且?1,?2,???,?100相互独立。设一盒螺丝钉的重量
为随机变量????i，则期望和标准差分别为
i?1100
概率论与数理统计第三、四章标准答案
