平面向量的一些重要结论
向量的几何表示是高考的热点问题，特别是用三角形的各种心的向量表示经常是命题的素材，常见的结论如下：[来源:学|科|网Z|X|X|K] （一）向量与三角形四心
uuuruuuruuuruuur
1①PG=(PA+PB+PC)?G为DABC的重心， 3uuuruuuruuurr
特别地PA+PB+PC=0?P为DABC的重心； uuuruuur
l(AB+AC),l?[0,+￥)是BC边上的中线AD上的任意向量，过重心；
uuur1uuuruuur
AD=AB+AC,等于已知AD是DABC中BC边的中线.
2uuuruuuruuuruuuruuuruuur
②PA×PB=PB×PC=PC×PA?P为DABC的垂心；
()uuuruuurABACrl(uuu+uuur)l?[0,+￥)是△ABC边BC的高AD上的任意向量，过垂心. |AB|cosB|AC|cosCuuuruuuruuuruuuruuuruuurr③ |AB|PC+|BC|PA+|CA|PB=0?P DABC的内心；
uuuruuur
ACABr+uuur)(l10)所在直线过DABC的内心(是DBAC的角平分线所在直线). 向量l(uuu|AB||AC|uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur④(OA+OB)×AB=(OB+OC)×BC=(OC+OA)×CA=0
uuuuruuuuruuuuruuuruuuruuur2
?OA=OB=OC?OA=OB2=OC2?O为DABC的外心.
（二）向量与平行四边形
向量的加法的几何意义是通过平行四边形法则得到，其应用非常广泛.在平行四边形ABCD中，设uuurruuurr
AB=a,AC=b，则有以下的结论：
uuuruuuruuuruuurrruuur
①AB+AC=a+b=AD,通过这个公式可以把共同起点的两个向量进行合并；若AB=DC,可判断四边形为平行四边形；
rrrrrrrruuurrruuur
②a+b=AD,a-b=CB,若a+b=a-b?a×b=0对角线相等或邻边垂直，则平行四边形为矩形；
rrrrrruu
(a+b)×(a-b)=0?a=b对角线垂直.则平行四边形为菱形；
rr2rr2r2r2
③a+b+a-b=2a+2b说明平行四边形的四边的平方和等于对角线的平方和；
rrrrrrrrrrrrrrrrr④||a|-|b||￡|a±b|￡|a|+|b|，特别地，当a、 b同向或有0?|a+b|=|a|+|b|3||a|-|b||=|a-b|；
rrrrrrrrrrrrr当a、 b反向或有0?|a-b|=|a|+|b|3||a|-|b||=|a+b|；当a、 b不共线
rrrrrr
?||a|-|b||<|a±b|<|a|+|b|(这些和实数比较类似).
（三）解析几何与向量综合时可能出现的结论
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（1） 给出直线的方向向量u=(1,k)或u=(m,n)；
（2）给出OA+OB与AB相交,等于已知OA+OB过AB的中点;
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（3）给出PM+PN=0,等于已知P是MN的中点;
（4）给出AP+AQ=lBP+BQ,等于已知P,Q与AB的中点三点共线; （5） 给出以下情形之一：
①AB//AC；
②存在实数l,使AB=lAC；
()rr
uuuruuuruuur
③若存在实数a,b,且a+b=1,使OC=aOA+bOB,
等于已知A,B,C三点共线. （6） 给出OP=
OA+lOB，等于已知P是AB的定比分点，l为定比，即AP=lPB
1+l（7） 给出MA×MB=0,等于已知MA^MB,即DAMB是直角,给出MA×MB=m<0,等于已知
DAMB是钝角, 给出MA×MB=m>0,等于已知DAMB是锐角,
???MAMB÷（8）给出l?+÷=MP,等于已知MP是DAMB的平分线/[来源:学科网ZXXK]
?MAMB÷è?（9）在平行四边形ABCD中，给出(AB+AD)×(AB-AD)=0，等于已知ABCD是菱形;
uuuruuuruuuruuur
（10） 在平行四边形ABCD中，给出|AB+AD|=|AB-AD|，等于已知ABCD是矩形;
（11）在DABC中，给出OA=OB=OC，等于已知O是DABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12） 在DABC中，给出OA+OB+OC=0，等于已知O是DABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
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（13）在DABC中，给出OA×OB=OB×OC=OC×OA，等于已知O是DABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
uuuruuur
ABAC
r+uuur)(l?R+)，等于已知AP通过DABC的内心； （14）在DABC中，给出OP=OA+l(uuu|AB||AC|
（15）在DABC中，给出a×OA+b×OB+c×OC=0,等于已知O是DABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
uuur1uuuruuur（16在DABC中，给出AD=AB+AC,等于已知AD是DABC中BC边的中线;
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平面向量的一些重要结论
