九年级数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每小题5分，共25分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式
可以化简为（
（A）2c?a （B）2a?2b （C）?a （D）a 2.如果关于x的方程 程的个数是（ ）．
（A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 8
是正整数）的正根小于3， 那么这样的方 ）．
3、对于任意实数a,b,c,d，定义有序实数对(a,b)与(c,d)之间的运算“△”为：(a,b)?(c,d)?(ac?bd,ad?bc)。如果对于任意实数u,v，都有
(u,v)?(x,y)?(u,v)，那么(x,y)为（ ）。
A．(0,1) B．(1,0) C．(?1,0) D．(0,?1)
4．如图，把边长为3的正三角形绕着它的中心旋转180°后，重叠部分的面积为( )
A.
93 4B.
3 2C.
333 D. 3 42 5、设S?1111???????，则4S的整数部分等（ ） 132333993 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
6、两条直角边长分别是整数a,b（其中b?2011），斜边长是b?1的直角三
角形的个数为＿＿＿＿。
7、如图，在△ABC中，?A?90，BC?4cm，分别以B，C为圆心的两个等圆外
2切，则图中阴影部分的面积为 cm
8、若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10 cm、深约为2 cm的小坑，则
该铅球的直径约为（ ）
9、已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1、B1、C1分别是点I关于BC、CA、AB的
对称点，若点B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC等于（ ）
10、⊙O的三个不同的内接正三角形将⊙O分成的区域的个数为＿＿＿＿＿。
7题图
三、解答题（共3题，11题15分，12题15分，13题20分，共50分）
11．如图，AB为⊙O的直径，C为圆上一点，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F. （1）求证：DE是⊙O的切线.
（2）若DE = 3，⊙O的半径为5，求BE的长.
12.已知关于x的一元二次方程x?cx?a?0的两个整数根恰好比方程x?ax?b?0的两个根都大1，求a?b?c的值.
13.如图①，四边形AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为a，b（b≥2a），且点F在AD上（以下问题的结果均可用a，b的代数式表示）． （1）求S△DBF； （2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S△DBF； （3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由． D D C C
F
F E
G E B B G
A A . ① ②
1．C
22 解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知
，且
所以
2．C
解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为二次函数
. 由于
有
的图象知，当都是正整数，所以. 于是共有7组
时，
，故方程的根为一正一负．由，所以
，即
，1≤q≤2，此时都
，
．
，1≤q≤5；或 符合题意．
3.B 4.D 5.A 6. 31 7. ? 8. a-1 ,
2 a?19、解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r（r为△ABC的内切圆半径），所以I点同时是△A1B1C1的外接圆的圆心，设IA1与BC的交点为D，则IB＝IA1＝2ID，所以∠IBD＝30°。同理，∠IBA＝30°，于是∠ABC＝60°。
10.28
11．解：(1)如图，连接OD.因为AD平分∠BAC,所以∠1=∠2.又因为OA=OD,所以∠1=∠3.所以∠2=∠3.所以OD∥AE.因为DE⊥AE,所以DE⊥OD.而点D在⊙O上,所以DE是⊙O的切线. …………（7分）
(2)如图,连接BE与OD交于点H，作OG⊥AE于点G. 则 OG = DE =3， EG= DO=5，所以AG = 52?32= 4，AE = 4+5= 9…………（10分）,因为EA∥OD， AO=OB，所以HO=AE=，HD = 5-=，故HE = 32+()2?37…………（20分
129292121237,BE = 212解：设方程x?ax?b?0的两个根为?，?，其中?，?为整数，且?≤?，
2，??1，由题意得 则方程x?cx?a?0的两根为??12?????a，???1????1??a， ………………………………5分
两式相加，得???2??2??1?0，即 (??2)(??2)?3，
???2?1，???2??3，所以，? 或? ………………………………10分
??2?3；??2??1.??
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