第一篇 一元一次方程的讨论
第一部分 基本方法
1. 方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。
例如：方程 2x＋6＝0， x（x－1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解 分别是： x=－3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数，无解。 2. 关于x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后， 讨论它的解：当a≠0时，有唯一的解 x=当a=0且b≠0时，无解；
当a=0且b＝0时，有无数多解。（∵不论x取什么值，0x＝0都成立） 3. 求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a｜b时，方程有整数解；
当a｜b，且a、b同号时，方程有正整数解； 当a、b同号时，方程的解是正数。
综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b 第二部分 典例精析
例1 a取什么值时，方程a(a－2)x=4(a－2) ①有唯一的解？②无解？ ③有无数多解？④是正数解？
b； a 例2 k取什么整数值时，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？
例3 己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a 无解。问a和b应满足什么关系？
例4 a、b取什么值时，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？
第三部分 典题精练
1. 根据方程的解的定义，写出下列方程的解：
① (x+1)=0, ②x=9, ③|x|=9， ④|x|=－3, ⑤3x+1=3x－1, ⑥x+2=2+x
2. 关于x的方程ax=x+2无解，那么a__________ 3. 在方程a(a－3)x=a中，
当a取值为＿＿＿＿时，有唯一的解； 当a＿＿＿时无解； 当a＿＿＿＿＿时,有无数多解； 当a＿＿＿＿时,解是负数。 4. k取什么整数值时，下列等式中的x是整数？
① x=
2
62k?33k?24 ②x= ③x= ④x=
k?1kk?1k5. k取什么值时，方程x－k=6x的解是 ①正数？ ②是非负数？
6. m取什么值时，方程3（m+x）=2m－1的解 ①是零？ ②是正数？
7. 己知方程
3x?6a?2的根是正数，那么a、b应满足什么关系？ ?1?42
8. m取什么整数值时，方程(
9. 己知方程
x2?1)m?1?m的解是整数? 33b3(x?1)?1?ax有无数多解，求a、b的值。 22
第二篇 二元一次方程的整数解
第一部分 基本方法
1. 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，
若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即 如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解
显然a,b互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x－2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x－2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。 2. 二元一次方程整数解的求法：
若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。
方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解
1?11y1?y?10y1?y=??2y (1) , 5551?y 设，则y=1－5k (2) , ?k(k是整数）
5解：x=
把（2）代入（1）得x=k－2 (1－5k)=11k－2
?x?11k?2∴原方程所有的整数解是?（k是整数）
y?1?5k?方法二，公式法： 设ax+by=c有整数解
?x?x0?x?x0?bk则通解是（x0,y0可用观察法） ???y?y0?y?y0?ak1， 求二元一次方程的正整数解：
① 出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值 ② 用观察法直接写出。
第二部分 典例精析
例1 求方程5x－9y=18整数解的能通解
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