第一篇 一元一次方程的讨论
第一部分 基本方法
1. 方程的解的定义:能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。
例如:方程 2x+6=0, x(x-1)=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2的解 分别是: x=-3, x=0或x=1, x=±6, 所有的数,无解。 2. 关于x 的一元一次方程的解(根)的情况:化为最简方程ax=b后, 讨论它的解:当a≠0时,有唯一的解 x=当a=0且b≠0时,无解;
当a=0且b=0时,有无数多解。(∵不论x取什么值,0x=0都成立) 3. 求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解 当a|b时,方程有整数解;
当a|b,且a、b同号时,方程有正整数解; 当a、b同号时,方程的解是正数。
综上所述,讨论一元一次方程的解,一般应先化为最简方程ax=b 第二部分 典例精析
例1 a取什么值时,方程a(a-2)x=4(a-2) ①有唯一的解?②无解? ③有无数多解?④是正数解?
b; a 例2 k取什么整数值时,方程①k(x+1)=k-2(x-2)的解是整数?②(1-x)k=6的解是负整数?
例3 己知方程a(x-2)=b(x+1)-2a 无解。问a和b应满足什么关系?
例4 a、b取什么值时,方程(3x-2)a+(2x-3)b=8x-7有无数多解?
第三部分 典题精练
1. 根据方程的解的定义,写出下列方程的解:
① (x+1)=0, ②x=9, ③|x|=9, ④|x|=-3, ⑤3x+1=3x-1, ⑥x+2=2+x
2. 关于x的方程ax=x+2无解,那么a__________ 3. 在方程a(a-3)x=a中,
当a取值为____时,有唯一的解; 当a___时无解; 当a_____时,有无数多解; 当a____时,解是负数。 4. k取什么整数值时,下列等式中的x是整数?
① x=
2
62k?33k?24 ②x= ③x= ④x=
k?1kk?1k5. k取什么值时,方程x-k=6x的解是 ①正数? ②是非负数?
6. m取什么值时,方程3(m+x)=2m-1的解 ①是零? ②是正数?
7. 己知方程
3x?6a?2的根是正数,那么a、b应满足什么关系? ?1?42
8. m取什么整数值时,方程(
9. 己知方程
x2?1)m?1?m的解是整数? 33b3(x?1)?1?ax有无数多解,求a、b的值。 22
第二篇 二元一次方程的整数解
第一部分 基本方法
1. 二元一次方程整数解存在的条件:在整系数方程ax+by=c中,
若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即 如果(a,b)|c 则方程ax+by=c有整数解
显然a,b互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立,方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解, ∵(9,3)=3,而3不能整除10;(4,2)=2,而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数,(a,b)中的a,b实为它们的绝对值。 2. 二元一次方程整数解的求法:
若方程ax+by=c有整数解,一般都有无数多个,常引入整数k来表示它的通解(即所有的解)。k叫做参变数。
方法一,整除法:求方程5x+11y=1的整数解
1?11y1?y?10y1?y=??2y (1) , 5551?y 设,则y=1-5k (2) , ?k(k是整数)
5解:x=
把(2)代入(1)得x=k-2 (1-5k)=11k-2
?x?11k?2∴原方程所有的整数解是?(k是整数)
y?1?5k?方法二,公式法: 设ax+by=c有整数解
?x?x0?x?x0?bk则通解是(x0,y0可用观察法) ???y?y0?y?y0?ak1, 求二元一次方程的正整数解:
① 出整数解的通解,再解x,y的不等式组,确定k值 ② 用观察法直接写出。
第二部分 典例精析
例1 求方程5x-9y=18整数解的能通解
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