解答题标准练(二)
→→
1．(2018·济南模拟)在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝23，AM＝MC. (1)求BM的长；
2π1
(2)设D是平面ABC内一动点，且满足∠BDM＝，求BD＋MD的取值范围．
32解 (1)在△ABC中，
AB2＝AC2＋BC2 －2AC·BC·cos C.
1
代入数据得cos C＝－. 2→→∵AM＝MC， 1
∴CM＝MA＝AC＝1.
2
在△CBM中，由余弦定理知，
BM2＝CM2＋CB2 －2CM·CB·cos C，
代入数据得BM＝7. (2)设∠DBM＝θ，则∠DMB＝
π?π?－θ，θ∈?0，?.
3?3?
在△BDM中，由正弦定理知， ＝＝＝
πsin θ2π??sin sin?－θ?3?3?
BDMDBM27
， 3
2727?π?∴BD＝sin?－θ?，MD＝sin θ，
?3?33127?π7?∴BD＋MD＝sin?－θ?＋sin θ
2?3?33＝
7
3
(3cos θ－sin θ＋sin θ)＝7cos θ.
?π??1?又θ∈?0，?，∴cos θ∈?，1?，
3???2?
1?7?
∴BD＋MD的取值范围为?，7?.
2?2?
2．(2018·合肥模拟)某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在
1
[195,210)内，则为合格品，否则为不合格品．表 1是甲流水线样本的频数分布表，如图所示是乙流水线样本的频率分布直方图． 表1：甲流水线样本的频数分布表：
质量指标值 [190,195) [195,200) [200,205) [205,210) [210,215] 频数 2 13 23 8 4
(1)若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了6万件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？
(2)在甲流水线抽取的样本的不合格品中随机抽取两件，求两件不合格品的质量指标值均偏大的概率；
(3)根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.1的前提下能否认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”？
合格品 不合格品 总计
甲流水线 乙流水线 总计 n?ad－bc?2附：K＝(其中n＝a＋b＋c＋d).
?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?
2
P(K2≥k0) k0
0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 解 (1)由甲、乙两条流水线各抽取50件产品可知， 甲流水线生产的不合格品有6件， 则甲流水线生产的产品为不合格品的概率
2
P甲＝＝.
乙流水线生产的产品为不合格品的概率
635025
P乙＝(0.016＋0.032)×5＝.
于是，若某个月内甲、乙两条流水线均生产了6万件产品， 则甲、乙两条流水线生产的不合格品分别为
36
60 000×＝7 200(件)，60 000×＝14 400(件)．
2525(2)在甲流水线抽取的样本中，不合格品共有6件， 其中质量指标值偏小的有2件，记为A，B； 质量指标值偏大的有4件，记为C，D，E，F，
则从中任选2件有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种结果，
其中质量指标值都偏大有6种结果， 62
故所求概率P＝＝.
155(3)2×2列联表如下：
625
合格品 不合格品 总计
甲流水线 44 6 50 乙流水线 38 12 50 总计 82 18 100 100×?44×12－38×6?则K＝≈2.439<2.706，
50×50×82×18
2
2
所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下不能认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”．
π
3．(2018·潍坊模拟)如图所示五面体ABCDEF，四边形ACFD是等腰梯形，AD∥FC，∠DAC＝，
3
BC⊥平面ACFD，CA＝CB＝CF＝1，AD＝2CF，点G为AC的中点．
(1)在AD上是否存在一点H，使GH∥平面BCD？若存在，指出点H的位置并给出证明；若不存在，请说明理由； (2)求三棱锥G－ECD的体积．
3
解 (1)存在点H，H为AD的中点．
证明如下：
连接GH，在△ACD中，
由三角形中位线定理可知GH∥CD， 又GH?平面BCD，CD?平面BCD， ∴GH∥平面BCD.
(2)由题意知AD∥CF，AD?平面ADEB，CF?平面ADEB， ∴CF∥平面ADEB，
又CF?平面CFEB，平面CFEB∩平面ADEB＝BE， ∴CF∥BE，
∴VG－ECD＝VE－GCD＝VB－GCD，
π
∵四边形ACFD是等腰梯形，∠DAC＝，
3π
∴∠ACD＝.
2
又∵CA＝CB＝CF＝1，AD＝2CF， 1
∴CD＝3，CG＝.
2又BC⊥平面ACFD， 11
∴VB－GCD＝×CG×CD×BC
321113＝×××3×1＝， 32212∴三棱锥G－ECD的体积为
3
. 12
x2y2
4．(2018·厦门质检)过椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点F作两条互相垂直的直线l1，l2，
ab直线l1与E交于A，B两点，直线l2与E交于C，D两点．当直线l1的斜率为0时，|AB|＝42，|CD|＝22.
(1)求椭圆E的方程；
(2)求四边形ABCD面积的取值范围． |AB|解 (1)由已知得a＝＝22，
2
4
x＝c代入x2y2b2
将a2＋b2＝1，得y＝±a，
2
2
所以|CD|＝2b2b2
a＝22＝22，所以b＝4，
所以椭圆E的方程为x2y2
8＋4
＝1.
(2)①当直线l1，l2其中一条的斜率为0， 另一条的斜率不存在时，
S11四边形ACBD＝2|AB|·|CD|＝2
×42×22＝8.
②当两条直线的斜率均存在时，设直线AB的方程为x＝my＋2，
则直线CD的方程为x＝－1
my＋2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由???x＝my＋2，2
?2(m2＋2)y＋4my－4＝0，
?
x＋2y2
－8＝0，
得Δ＝16m2＋16(m2＋2)＝32(m2＋1)，
|yyΔ42m2
＋11－2|＝m2＋2＝m2＋2，
2
|AB|＝1＋m2
|y42?m＋1?
1－y2|＝m2＋2
，
2
(或y＝－4m－4
1＋y22，y1y2＝2，|AB|＝
(1＋m2
)[(y42(m＋1)
m＋2m＋2
1＋y2)2
－4y1y2]＝m2＋2
) ?1用－142?m取代m，得|CD|＝?m2＋1???1＝42(m2
＋1)2m2
＋1
， m2＋2
1142(m2
＋1)42(m2
∴S＋1)
四边形ACBD＝2|AB|·|CD|＝2×m2＋2×2m2
＋1
＝16×
(m4＋2m2＋1)
(2m4＋5m2＋2)－m2
2m4＋5m2＋2
＝8×
2m4＋5m2＋2
＝8－8
，
2m2
＋5＋2m2
5
(全国通用版)2020高考数学二轮复习 解答题标准练(二)文
