课后跟踪训练(四十)
基础巩固练
一、选择题
1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A．a2＋b2>2ab 112C.a＋b>
ab
B．a＋b≥2ab baD.a＋b≥2
[解析] ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误．对于B，C，当ba
a<0，b<0时，明显错误．对于D，∵ab>0，∴a＋b≥2D.
[答案] D
2．(2019·福建福州一模)在下列各函数中，最小值为2的函数是( )
1
A．y＝x＋x(x≠0) π?1?
B．y＝cosx＋cosx?0 ??x2＋3 C．y＝2(x∈R) x＋24 D．y＝ex＋ex－2(x∈R) 1 [解析] 对于A项，当x<0时，y＝x＋x≤－2，故A错；对于Bπ1 项，因为0 1 2 ?x＋2?＋12 x＋2≥2，所以y＝＝2 x＋2 baa·b＝2.故选 x2＋2 ＋ ≥2中等号也不能取到，故C错；对于D项，因为ex>0， x2＋2 4 所以y＝ex＋ex－2≥2号成立．故选D. [答案] D 4xex·当且仅当e＝2，即x＝ln2时等x－2＝2，e 3．(2019·湖南邵阳联考)已知lg(x＋y)＝lgx＋lgy，则x＋y的取值范围是( ) A．(0,1] B．[2，＋∞) C．(0,4] D．[4，＋∞) [解析] ∵lg(x＋y)＝lgx＋lgy＝lg(xy)，∴x＋y＝xy.∵x>0，y>0，x ?x＋y? ?2 ＋y＝xy≤???，∴x＋y≥4，故选D. ?2? [答案] D x2－4x＋55 4．(2019·四川成都一诊)已知x≥2，则f(x)＝有( ) 2x－4A．最大值2 B．最小值2 C．最大值1 D．最小值1 [解析] 1≥2·25 ∵x≥2，∴f(x)＝1 ?x－2?2＋12?x－2? 1 1＝2 1?? ?x－2＋??x－2??? ?x－2?·＝1，当且仅当x－2＝，即x＝3或x＝1(舍) x－2x－2 时取等号，∴f(x)有最小值1，故选D. [答案] D 5．(2019·河南平顶山、许昌、汝州联考)若3x＋2y＝2，则8x＋4y的最小值为( ) A．4 B．42 C．2 D．22 [解析] ∵3x＋2y＝2，∴8x＋4y＝23x＋22y≥223x·22y＝2 23x＋2y＝ 11 4，当且仅当3x＋2y＝2且3x＝2y，即x＝2，y＝2时等号成立，∴8x ＋4y的最小值为4，故选A. [答案] A 二、填空题 4π 6．函数y＝sinx＋sinx，x∈(0，2]的最小值为________． π4 [解析] 设t＝sinx，x∈(0，2]，则t∈(0,1]，易知y＝t＋t在(0,1]上为减函数，故当t＝1时，y取得最小值5. [答案] 5 7.(2019·黑龙江齐齐哈尔八校联考)若对x>0，y>0，x＋2y＝1，有21 x＋y≥m恒成立，则m的最大值是________． ?21?21 ?＋?＝2＋2＋[解析] ∵x>0，y>0，x＋2y＝1，∴x＋y＝(x＋2y)·?xy? 4yx x＋y≥4＋24yx1121x·y＝8，当且仅当x＝2，y＝4时取等号，∴x＋y的最21 小值为8，又x＋y≥m恒成立，∴m≤8，即m的最大值为8. [答案] 8 8．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为________m. 1 [解析] 设两直角边分别为a m，b m，框架的周长为l，则2ab＝2，即ab＝4， ∴l＝a＋b＋ a2＋b2≥2ab＋2ab＝4＋22，当且仅当a＝b＝2 时取等号，故选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(4＋22)m. [答案] 4＋22 三、解答题 51 9．(2018·唐山一中月考)(1)已知x<4，求函数y＝4x－2＋的 4x－5最大值； 19 (2)已知x>0，y>0且x＋y＝1，求x＋y的最小值． 5 [解] (1)∵x<4，∴4x－5<0. ∴y＝4x－5＋ 1 14x－5 ＋3＝－ (5－4x)＋ 15－4x ＋3,≤－2 ?5－4x?×＋3＝1，当且仅当x＝1时等号成立，,∴ymax＝1.,(2) 5－4x ?19?19y9x ∵x>0，y>0且x＋y＝1，,∴x＋y＝(x＋y)?x＋y?＝10＋x＋y ?? ≥10＋2 y9x x·y＝16， 当且仅当x＝4，y＝12时等号成立，即x＋y的最小值为16. 10．(2018·河北唐山二模)已知a>0，b>0，c>0，d>0，a2＋b2＝ab＋1，cd>1. (1)求证：a＋b≤2； (2)判断等式ac＋bd＝c＋d能否成立，并说明理由． [解] (1)证明：由题意得(a＋b)2＝3ab＋1≤ ?a＋b? ?2 3???＋1，当且仅当a＝b时取等号． ?2? 解得(a＋b)2≤4，又a，b>0， 所以a＋b≤2. (2)不能成立． a＋cb＋d 理由：由均值不等式得ac＋bd≤2＋2，当且仅当a＝c 且b＝d时等号成立． 因为a＋b≤2， c＋d 所以ac＋bd≤1＋2. 因为c>0，d>0，cd>1， c＋dc＋dc＋dc＋d 所以c＋d＝2＋2≥2＋cd>2＋1≥ac＋bd， 故ac＋bd＝c＋d不能成立． 能力提升练 11．(2018·四川南充模拟)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( ) 2428 A.5 B.5 C．5 D．6 131 [解析] 因为x＋3y＝5xy，y＋x＝5，所以3x＋4y＝5(3x＋ ?13?1?3x12y?13113 4y)?y＋x?＝5?y＋x?＋5≥5×2×36＋5＝5，当且仅当x＝1，y? ? ? ? 1 ＝2时等号成立．故选C. [答案] C 12 12．若不等式m≤2x＋当x∈(0,1)时恒成立，则实数m的最 1－x大值为( ) 95 A．9 B.2 C．5 D.2 ?1－x?＋x2?1－x?＋2x12 [解析] x∈(0,1)时1－x>0，∴2x＋＝＋2x1－x1－x1－x2x1591＝2x＋＋2＋2≥2＋21＝2，当且仅当1－x＝2x即x＝3时取1－x
高中数学一轮复习：第七章 不等式、推理与证明(必修5、选修1-2)课后跟踪训练40
