第二章常见条件翻译转化
第一节:三角形的面积表达
一、直线l与圆锥曲线C的位置关系的判断
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax?By?c?0
代入圆锥曲线C的方程F?x,y??0 ,消去y(也可以消去x)得到关系一个变量的
一元二次方程,,即???Ax?By?c?02 ,消去y后得ax?bx?c?0
??F?x,y??0 (1)当a?0时,即得到一个一元一次方程,则l与C相交,且只有一个交点,此时, 若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线平行;若C为抛物线,则直线l与抛物线 的对称轴平行
(2) 当a?0时,??0 ,直线l与曲线C有两个不同的交点; ??0,直线l与曲 线C相切,即有唯一的公共点(切点); ??0 ,直线l与曲线C 二、圆锥曲线的弦
连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦
直线l:f?x,y??0 ,曲线C:F?x,y??0,A,B为l与C的两个不同的交点,坐标分别为
??f?x,y??0 的两组解, A?x1,y1?,B?x2,y2?,则A?x1,y1?,B?x2,y2?是方程组???F?x,y??0方程组消元后化为关于x或y 的一元二次方程Ax?Bx?c?0(A?0) ,判别式
2??B2?4AC ,应有??0 ,所以x1,x2是方程Ax2?Bx?c?0的根,由根与系数关
系(韦达定理)求出x1?x2??BC,x1x2? , 所以A,B两点间的距离为 AAAB?1?k2x1?x2?1?k2公式也可以写成关于y的形式
?x1?x2?2?4x1x2?1?k2? ,即弦长公式,弦长 AAB?1?k2y1?y2?1?k2
三、三角形面积求法
1底?高 2?y1?y2?2?4y1y2?k?0?
方法 1absinC2边角已知的题 简单 拆分:S??11F1F2y1?y2,S??F1F2x1?x2 22适合题型 备注
一切题型 不一定简单 过定点的题 简单 ??2??2
,VEFA的面积为. (0,c)2
【例1】.已知椭圆2??
??2
+
??2
=1的左焦点为F,右顶点为A,点E的坐标为(a>b>0)(-c,0)(I)求椭圆的离心率;
(II)设点Q在线段AE上,|FQ|?32
??,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,
PMPQN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c. (i)求直线FP的斜率; (ii)求椭圆的方程.
【解答】解:(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(??+??)??=.
22
1
又由b2=a2﹣c2,可得2c2+ac﹣a2=0,即2e2+e﹣1=0.又因为0<e<1,解得??=2.
1
??2
1
所以,椭圆的离心率为;
2
1
(2)(ⅰ)依题意,设直线FP的方程为x=my﹣c(m>0),则直线FP的斜率为.
??
由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为
??2??
+
????
=1,即x+2y﹣2c=0,与直线FP
的方程联立,可解得??=由已知|FQ|=
3??
(2???2)??3??(2???2)??3??
,??=,即点Q的坐标为(,).
??+2??+2??+2??+2(2???2)??3??3??
,有[??+2+??]2+(??+2)2=(2)2,整理得3m2﹣4m=0, 2
34
所以??=3,即直线FP的斜率为.
4
(ii)解:由a=2c,可得??=√3??,故椭圆方程可以表示为
??24??2+
??23??2=1
3???4??+3??=0
由(i)得直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0,与椭圆方程联立{??2消去y,整理得??2
+=14??23??27x2+6cx﹣13c2=0,解得??=?
5??2
13??75??2
(舍去),或x=c.因此可得点??(??,2),进而可得|????|=√(??+??)2+(2)2=?
3??2
3??3??
,所以|????|=|????|?|????|==??.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距
离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.
3??39??
因为QN⊥FP,所以|????|=|????|???????∠??????=2×4=8,所以?÷FQN的面积为127??275??2|????||????|=,同理?÷FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得2323275??227??2
?=3??,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2. 3232??2??2所以,椭圆的方程为+=1.
1612
【例2】.如图,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m,2n(m?n),过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.
记??m,△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2. n(1)当直线l与y轴重合时,若S1??S2,求?的值;
(2)当?变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1??S2?并说明理由.
【答案】依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为
mx2y2x2y2C1:2?2?1,C2:2?2?1. 其中a?m?n?0,???1.
amann(1)解法1:如图1,若直线l与y轴重合,即直线l的方程为x?0,则
S1?S|BD|1111. |BD|?|OM|?a|BD|,S2?|AB|?|ON|?a|AB|,所以1?S2|AB|2222在C1和C2的方程中分别令x?0,可得yA?m,yB?n,yD??m,
|BD||yB?yD|m?n??1. ???|AB||yA?yB|m?n??1于是
若
S1??1??,则??,化简得?2?2??1?0. 由??1,可解得??2?1. S2??1故当直线l与y轴重合时,若S1??S2,则??2?1. 解法2:如图1,若直线l与y轴重合,则
|BD|?|OB|?|OD|?m?n,|AB|?|OA|?|OB|?m?n;
S1?1111|BD|?|OM|?a|BD|,S2?|AB|?|ON|?a|AB|. 2222所以
S1|BD|m?n??1. ???S2|AB|m?n??1若
S1??1??,则??,化简得?2?2??1?0. 由??1,可解得??2?1. S2??1故当直线l与y轴重合时,若S1??S2,则??2?1.
(2)解法1:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1??S2. 根据对称性, 不妨设直线l:y?kx(k?0),
第22题解答图2
第22题解答图1
点M(?a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,则
因为d1?|?ak?0|1?k2?ak1?k2,d2?|ak?0|1?k2?ak1?k2,所以d1?d2.
又S1?S|BD|11??,即|BD|??|AB|. |BD|d1,S2?|AB|d2,所以1?S2|AB|22由对称性可知|AB|?|CD|,所以|BC|?|BD|?|AB|?(??1)|AB|, |AD|?|BD|?|AB|?(??1)|AB|,于是
|AD|??1?. ① |BC|??1将l的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得
2020届高考数学二轮复习分层讲义(拔高)圆锥曲线第2章 常见条件翻译转化
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