2020届高考数学二轮复习分层讲义(拔高)圆锥曲线第2章 常见条件翻译转化

第二章常见条件翻译转化

第一节:三角形的面积表达

一、直线l与圆锥曲线C的位置关系的判断

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax?By?c?0

代入圆锥曲线C的方程F?x,y??0 ,消去y(也可以消去x)得到关系一个变量的

一元二次方程,,即???Ax?By?c?02 ,消去y后得ax?bx?c?0

??F?x,y??0 (1)当a?0时,即得到一个一元一次方程,则l与C相交,且只有一个交点,此时, 若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线平行;若C为抛物线,则直线l与抛物线 的对称轴平行

(2) 当a?0时,??0 ,直线l与曲线C有两个不同的交点; ??0,直线l与曲 线C相切,即有唯一的公共点(切点); ??0 ,直线l与曲线C 二、圆锥曲线的弦

连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦

直线l:f?x,y??0 ,曲线C:F?x,y??0,A,B为l与C的两个不同的交点,坐标分别为

??f?x,y??0 的两组解, A?x1,y1?,B?x2,y2?,则A?x1,y1?,B?x2,y2?是方程组???F?x,y??0方程组消元后化为关于x或y 的一元二次方程Ax?Bx?c?0(A?0) ,判别式

2??B2?4AC ,应有??0 ,所以x1,x2是方程Ax2?Bx?c?0的根,由根与系数关

系(韦达定理)求出x1?x2??BC,x1x2? , 所以A,B两点间的距离为 AAAB?1?k2x1?x2?1?k2公式也可以写成关于y的形式

?x1?x2?2?4x1x2?1?k2? ,即弦长公式,弦长 AAB?1?k2y1?y2?1?k2

三、三角形面积求法

1底?高 2?y1?y2?2?4y1y2?k?0?

方法 1absinC2边角已知的题 简单 拆分:S??11F1F2y1?y2,S??F1F2x1?x2 22适合题型 备注

一切题型 不一定简单 过定点的题 简单 ??2??2

,VEFA的面积为. （0，c）2

【例1】.已知椭圆2??

??2

+

??2

=1的左焦点为F,右顶点为A,点E的坐标为（a＞b＞0）（-c，0）(I)求椭圆的离心率;

(II)设点Q在线段AE上,|FQ|?32

??,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M，N在x轴上,

PMPQN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c. (i)求直线FP的斜率; (ii)求椭圆的方程.

【解答】解:(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(??+??)??=.

22

1

又由b2=a2﹣c2,可得2c2+ac﹣a2=0,即2e2+e﹣1=0.又因为0＜e＜1,解得??=2.

1

??2

1

所以,椭圆的离心率为;

2

1

(2)(ⅰ)依题意,设直线FP的方程为x=my﹣c(m>0),则直线FP的斜率为.

??

由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为

??2??

+

????

=1,即x+2y﹣2c=0,与直线FP

的方程联立,可解得??=由已知|FQ|=

3??

(2???2)??3??(2???2)??3??

,??=,即点Q的坐标为(,).

??+2??+2??+2??+2(2???2)??3??3??

,有[??+2+??]2+(??+2)2=(2)2,整理得3m2﹣4m=0, 2

34

所以??=3,即直线FP的斜率为.

4

(ii)解:由a=2c,可得??=√3??,故椭圆方程可以表示为

??24??2+

??23??2=1

3???4??+3??=0

由(i)得直线FP的方程为3x﹣4y+3c=0,与椭圆方程联立{??2消去y,整理得??2

+=14??23??27x2+6cx﹣13c2=0,解得??=?

5??2

13??75??2

(舍去),或x=c.因此可得点??(??,2),进而可得|????|=√(??+??)2+(2)2=?

3??2

3??3??

,所以|????|=|????|?|????|==??.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距

离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.

3??39??

因为QN⊥FP,所以|????|=|????|???????∠??????=2×4=8,所以?÷FQN的面积为127??275??2|????||????|=,同理?÷FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得2323275??227??2

?=3??,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2. 3232??2??2所以,椭圆的方程为+=1.

1612

【例2】.如图,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m,2n(m?n),过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.

记??m,△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2. n(1)当直线l与y轴重合时,若S1??S2,求?的值;

(2)当?变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1??S2?并说明理由.

【答案】依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为

mx2y2x2y2C1:2?2?1,C2:2?2?1. 其中a?m?n?0,???1.

amann(1)解法1:如图1,若直线l与y轴重合,即直线l的方程为x?0,则

S1?S|BD|1111. |BD|?|OM|?a|BD|,S2?|AB|?|ON|?a|AB|,所以1?S2|AB|2222在C1和C2的方程中分别令x?0,可得yA?m,yB?n,yD??m,

|BD||yB?yD|m?n??1. ???|AB||yA?yB|m?n??1于是

若

S1??1??,则??,化简得?2?2??1?0. 由??1,可解得??2?1. S2??1故当直线l与y轴重合时,若S1??S2,则??2?1. 解法2:如图1,若直线l与y轴重合,则

|BD|?|OB|?|OD|?m?n,|AB|?|OA|?|OB|?m?n;

S1?1111|BD|?|OM|?a|BD|,S2?|AB|?|ON|?a|AB|. 2222所以

S1|BD|m?n??1. ???S2|AB|m?n??1若

S1??1??,则??,化简得?2?2??1?0. 由??1,可解得??2?1. S2??1故当直线l与y轴重合时,若S1??S2,则??2?1.

(2)解法1:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1??S2. 根据对称性, 不妨设直线l:y?kx(k?0),

第22题解答图2

第22题解答图1

点M(?a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,则

因为d1?|?ak?0|1?k2?ak1?k2,d2?|ak?0|1?k2?ak1?k2,所以d1?d2.

又S1?S|BD|11??,即|BD|??|AB|. |BD|d1,S2?|AB|d2,所以1?S2|AB|22由对称性可知|AB|?|CD|,所以|BC|?|BD|?|AB|?(??1)|AB|, |AD|?|BD|?|AB|?(??1)|AB|,于是

|AD|??1?. ① |BC|??1将l的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得