概率论与数理统计第三章课后习题答案

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习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数

与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： Y X 0 0 1 2 3 1 3 1113C1g??? 322280 1 80 1121C3g???3/8 2220 1111??? 2228

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： Y X 0 0 1 0 2 22C3gC23 ?4C7352C3gC1C1122g2 ?4C73522C3gC23 ?4C7353 0 C3C123g2 ?4C735C3C123g2 ?4C7350 1 0 2C1C1C263g2g ?4C7352 P(0黑,2红,2白)= 4C2C22g2/C7?1 35C1C2C163g2g2 ?4C735

3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

ππ??sinxsiny,0?x?,0?y?F（x，y）=?22

?其他.?0,求二维随机变量（X，Y）在长方形域?0?x?【解】如图P{0?X???πππ?,?y??内的概率. 463?πππ,?Y?}公式(3.2) 463ππππππF(,)?F(,)?F(0,)?F(0,) 434636

可修改

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ππππππ?singsin?singsin?sin0gsin?sin0gsin434636

2?(3?1).4

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度

?Ae?(3x?4y),x?0,y?0,f（x，y）=?

其他.?0,求：（1） 常数A；

（2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1） 由

??????????f(x,y)dxdy????0???0Ae-(3x?4y)dxdy?A?1 12得 A=12 （2） 由定义，有 F(x,y)???yx????f(u,v)dudv

yy?(3u?4v)?dudv?(1?e?3x)(1?e?4y)??0?012e ????0,???0,y?0,x?0, 其他(3) P{0?X?1,0?Y?2}

?P{0?X?1,0?Y?2}

??100?212e?(3x?4y)dxdy?(1?e?3)(1?e?8)?0.9499.

5.设随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=?（1） 确定常数k；

（2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X<1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有

?k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,

其他.?0,可修改

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??????????f(x,y)dxdy??

20?42k(6?x?y)dydx?8k?1,

故 R?

18

（2） P{X?1,Y?3}? ?(3) P{X?1.5}? ???1313????f(x,y)dydx

x?1.5??13 k(6?x?y)dydx??0?288f(x,y)dxdy如图a??f(x,y)dxdy

D1?1.50dx?(4) P{X?Y?4}? ?X?Y?4??127(6?x?y)dy?. 2832f(x,y)dxdy如图b??f(x,y)dxdy

4D2?20dx?4?x212(6?x?y)dy?. 83题5图

6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为

?5e?5y,y?0,fY（y）=?

0,其他.?求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.

题6图

【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为

?1?,0?x?0.2, fX(x)??0.2?其他.?0,而

可修改