正方形（提高）
责编：杜少波
【学习目标】
1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系； 2．掌握正方形的性质及判定方法． 【要点梳理】
要点一、正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
要点诠释：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形. 要点二、正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行； 2.角——四个角都是直角；
3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点诠释：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 要点三、正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.
要点四、特殊平行四边形之间的关系
或者可表示为：
【典型例题】
类型一、正方形的性质
1、如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且
DE＝CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M． 求证：AM⊥DF．
【思路点拨】根据DE＝CF，可得出OE＝OF，继而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE＝∠ODF，然后利用等角代换可得出∠DME＝90°，即得出了结论． 【答案与解析】
证明：∵ABCD是正方形，
∴OD＝OC， 又∵DE＝CF，
∴OD－DE＝OC－CF，即OE＝OF， 在Rt△AOE和Rt△DOF中，
?AO?DO???AOD??DOF， ?OE?OF?∴△AOE≌△DOF， ∴∠OAE＝∠ODF，
∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM， ∴∠ODF＋∠DEM＝90°， 即可得AM⊥DF．
【总结升华】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是通过全等的证明得出∠OAE＝∠ODF，利用等角代换解题． 举一反三：
【变式1】如图四边形ABCD是正方形，点E、K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，
且CE＝BK＝AG．以线段DE、DG为边作DEFG．
(1)求证：DE＝DG，且DE⊥DG．
(2)连接KF，猜想四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．
【答案】
证明：(1)∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ DC＝DA，∠DCE＝∠DAG＝90°． 又∵ CE＝AG，
∴ △DCE≌△DAG，
∴ ∠EDC＝∠GDA，DE＝DG．
又∵ ∠ADE＋∠EDC＝90°，
∴ ∠ADE＋∠GDA＝90°，
∴ DE⊥DG．
(2)四边形CEFK为平行四边形． 证明：设CK，DE相交于M点，
∵ 四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形， ∴ AB∥CD，AB＝CD，EF＝DG，EF∥DG； ∵ BK＝AG，∴ KG＝AB＝CD． ∴ 四边形CKGD为平行四边形． ∴ CK＝DG＝EF，CK∥DG∥EF ∴ 四边形CEFK为平行四边形． 【高清课堂 417083 正方形 例9】
【变式2】如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_______．
【答案】2；
提示：阴影部分面积等于正方形面积的一半.
类型二、正方形的判定
2、（2016?普宁市模拟）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分別在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2． （1）已知DG=6，求AE的长；
（2）已知DG=2，求证：四边形EFGH为正方形．
【思路点拨】（1）先根据矩形的性质，利用勾股定理列出表达式：HG=DH+DG，HE=AH+AE，再根据菱形的性质，得到等式DH+DG=AH+AE，最后计算AE的长；
（2）先根据已知条件，用HL判定Rt△DHG≌Rt△AEH，得到菱形的一组邻边相等，进而判定该菱形为正方形． 【答案与解析】 解：（1）∵AD=6，AH=2 ∴DH=AD﹣AH=4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠D=90°
∴在Rt△DHG中，HG=DH+DG 在Rt△AEH中，HE=AH+AE ∵四边形EFGH是菱形 ∴HG=HE
∴DH+DG=AH+AE 即4+6=2+AE ∴AE=
=4
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
（2）∵AH=2，DG=2 ∴AH=DG
∵四边形EFGH是菱形 ∴HG=HE
在Rt△DHG和Rt△AEH中
∴Rt△DHG≌Rt△AEH（HL） ∴∠DHG=∠AEH ∵∠AEH+∠AHE=90° ∴∠DHG+∠AHE=90° ∴∠GHE=90° ∵四边形EFGH是菱形 ∴四边形EFGH是正方形
【总结升华】本题主要考查了矩形、菱形的性质以及正方形的判定，解决问题的关键是掌握：矩形的四个角都是直角，菱形的四条边都线段，有一组邻边相等的菱形是正方形．在解题时注意，求直角三角形的边长时，一般都需要考虑运用勾股定理进行求解． 举一反三：
【变式】（2015春?上城区期末）如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连结CF． （1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形； （2）若DG=6，求△FCG的面积．
【答案】
（1）证明：∵四边形EFGH为菱形，
∴HG=EH，
∵AH=2，DG=2， ∴DG=AH，
在Rt△DHG和△AEH中，
，
∴Rt△DHG≌△AEH， ∴∠DHG=∠AEH，
∵∠AEH+∠AHG=90°， ∴∠DHG+∠AHG=90°， ∴∠GHE=90°，
∵四边形EFGH为菱形， ∴四边形EFGH为正方形；
（2）解：作FQ⊥CD于Q，连结GE，如图，
∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD，
∴∠AEG=∠QGE，即∠AEH+∠HEG=∠QGF+∠FGE， ∵四边形EFGH为菱形， ∴HE=GF，HE∥GF， ∴∠HEG=∠FGE， ∴∠AEH=∠QGF， 在△AEH和△QGF中
，
∴△AEH≌△QGF， ∴AH=QF=2， ∵DG=6，CD=8， ∴CG=2，
∴△FCG的面积=CG?FQ=×2×2=2． 类型三、正方形综合应用
初二数学下册正方形（提高）知识讲解 - 图文
