.
9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.
【解】（1） 设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）
kP(X?3)??C5(0.3)k(0.7)5?k?0.16308
k?35(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）
kP(Y?3)??C7(0.3)k(0.7)7?k?0.35293
k?3710.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松
分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.
（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1）P(X?0)?ekk?32 (2) P(X?1)?1?P(X?0)?1?e2?k?52
11.设P{X=k}=C2p(1?p), k=0,1,2
m4?mP{Y=m}=Cm, m=0,1,2,3,4 4p(1?p)分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}=【解】因为P(X?1)?5，试求P{Y≥1}. 954，故P(X?1)?. 992而 P(X?1)?P(X?0)?(1?p)
4, 91即 p?.
3故得 (1?p)?2从而 P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?p)?465?0.80247 8112.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书
.
中恰有5册错误的概率.
【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,
??np?2000?0.001?2
e?225?0.0018 得 P(X?5)?5!13.进行某种试验，成功的概率为
31，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的44次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率. 【解】X?1,2,,k,
13P(X?k)?()k?1
44P(X?2)?P(X?4)??P(X?2k)?
1313313?()??()2k?1?4444441314?? 41?(1)254?14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡
的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率;
（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.
（1） 在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,0.002)，则所求概率为
P(2000X?30000)?P(X?15)?1?P(X?14)
由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有
.
e?55kP(X?15)?1???0.000069
k!k?014(2) P(保险公司获利不少于10000)
?P(30000?2000X?10000)?P(X?10)
e?55k?0.986305 ??k!k?010即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上
P（保险公司获利不少于20000）?P(30000?2000X?20000)?P(X?5)
e?55k?0.615961 ??k!k?05即保险公司获利不少于20000元的概率约为62% 15.已知随机变量X的密度函数为
f(x)=Ae|x|, ∞ 求：（1）A值；（2）P{0 ????f(x)dx?1得 1??Aedx?2?Ae?xdx?2A ??0??|x|?1. 211?x1?1(2) p(0?X?1)??edx?(1?e) 202x11(3) 当x<0时，F(x)??exdx?ex ??22x101x1e?|x|dx??exdx??e?xdx 当x≥0时，F(x)????2??2021?x ?1?e 2故 A??1xe,??2故 F(x)???1?1e?x??2x?0 x?0 . 16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为 100??,x?100,f(x)=?x2?x?100.?0, 求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F（x）. 【解】 1001dx?. ?100x2328 p1?[P(X?150)]3?()3?32741122(2) p2?C3()? 339（1） P(X?150)?150(3) 当x<100时F（x）=0 当x≥100时F(x)? ? ???x??100f(t)dt f(t)dt??x100??f(t)dt 100100 dt?1??100t2xx?100,x?100?1?故 F(x)?? x?x?0?0,17.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a］ 中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数. 【解】 由题意知X~∪[0,a]，密度函数为 ?1?,0?x?a f(x)??a?其他?0,故当x<0时F（x）=0 . 当0≤x≤a时F(x)??x??f(t)dt??f(t)dt??0xx01xdt? aa当x>a时，F（x）=1 即分布函数 ?0,?x?F(x)??,?a??1,x?00?x?a x?a18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测 值大于3的概率. 【解】X~U[2,5]，即 ?1?,2?x?5 f(x)??3?其他?0,P(X?3)??故所求概率为 5312dx? 3323202221 p?C3()?C3()?33332719.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布E().某顾客在窗 口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}. 【解】依题意知X~E()，即其密度函数为 x?1?5?e,x?0f(x)??5 ?0,x?0?1515该顾客未等到服务而离开的概率为 x1?5P(X?10)??edx?e?2 105?
《概率论与数理统计》(复旦大学出版社)第二章知识题目解析
