2020年高三毕业班数学课本知识点整理归纳之十八
第十八章 组合
一、方法与例题 1.抽屉原理。
例1 设整数n≥4,a1,a2,…,an是区间(0,2n)内n个不同的整数,证明:存在集合{a1,a2,…,an}的一个子集,它的所有元素之和能被2n整除。
[证明] (1)若n?{a1,a2,…,an},则n个不同的数属于n-1个集合{1,2n-1},{2,2n-2},…,{n-1,n+1}。由抽屉原理知其中必存在两个数ai,aj(i≠j)属于同一集合,从而ai+aj=2n被2n整除;
(2)若n∈{a1,a2,…,an},不妨设an=n,从a1,a2,…,an-1(n-1≥3)中任意取3个数ai, aj, ak(ai,
ⅰ)若这n个数中有一个被n整除,设此数等于kn,若k为偶数,则结论成立;若k为奇数,则加上an=n知结论成立。 ⅱ)若这n个数中没有一个被n整除,则它们除以n的余数只能取1,2,…,n-1这n-1个值,由抽屉原理知其中必有两个数除以n的余数相同,它们之差被n整除,而a2-a1不被n整除,故这个差必为ai, aj, ak-1中若干个数之和,同ⅰ)可知结论成立。 2.极端原理。
例2 在n×n的方格表的每个小方格内写有一个非负整数,并且在某一行和某一列的交叉点处如果写有0,那么该行与该列所填的所有数之和不小于n。证明:表中所有数之和不小于
12n。 2[证明] 计算各行的和、各列的和,这2n个和中必有最小的,不妨设第m行的和最小,记和为k,则该行中至少有n-k个0,这n-k个0所在的各列的和都不小于n-k,从而这n-k
22
列的数的总和不小于(n-k),其余各列的数的总和不小于k,从而表中所有数的总和不小
(n?k?k)212?n. 于(n-k)+k≥
222
2
3.不变量原理。
俗话说,变化的是现象,不变的是本质,某一事情反复地进行,寻找不变量是一种策略。 例3 设正整数n是奇数,在黑板上写下数1,2,…,2n,然后取其中任意两个数a,b,擦去这两个数,并写上|a-b|。证明:最后留下的是一个奇数。
[证明] 设S是黑板上所有数的和,开始时和数是S=1+2+…+2n=n(2n+1),这是一个奇数,因为|a-b|与a+b有相同的奇偶性,故整个变化过程中S的奇偶性不变,故最后结果为奇数。 例4 数a1, a2,…,an中每一个是1或-1,并且有S=a1a2a3a4+ a2a3a4a5+…+ana1a2a3=0. 证明:4|n.
[证明] 如果把a1, a2,…,an中任意一个ai换成-ai,因为有4个循环相邻的项都改变符号,S模4并不改变,开始时S=0,即S≡0,即S≡0(mod4)。经有限次变号可将每个ai都变成1,而始终有S≡0(mod4),从而有n≡0(mod4),所以4|n。 4.构造法。
?例5 是否存在一个无穷正整数数列a1, 仅有有限个素数。 3 [证明] 存在。取an=(n!)即可。当A=0时,{an}中没有素数;当|A|≥2时,若n≥|A|, 2 则an+A均为|A|的倍数且大于|A|,不可能为素数;当A=±1时,an±1=(n!±1)?[(n!)± 3 n!+1],当≥3时均为合数。从而当A为整数时,{(n!)+A}中只有有限个素数。 例6 一个多面体共有偶数条棱,试证:可以在它的每条棱上标上一个箭头,使得对每个顶点,指向它的箭头数目是偶数。 [证明] 首先任意给每条棱一个箭头,如果此时对每个顶点,指向它的箭头数均为偶数,则命题成立。若有某个顶点A,指向它的箭头数为奇数,则必存在另一个顶点B,指向它的箭头数也为奇数(因为棱总数为偶数),对于顶点A与B,总有一条由棱组成的“路径”连结它们,对该路径上的每条棱,改变它们箭头的方向,于是对于该路径上除A,B外的每个顶点,指向它的箭头数的奇偶性不变,而对顶点A,B,指向它的箭头数变成了偶数。如果这时仍有顶点,指向它的箭头数为奇数,那么重复上述做法,又可以减少两个这样的顶点,由于多面体顶点数有限,经过有限次调整,总能使和是对每个顶点,指向它的箭头数为偶数。命题成立。 5.染色法。 例7 能否在5×5方格表内找到一条线路,它由某格中心出发,经过每个方格恰好一次,再回到出发点,并且途中不经过任何方格的顶点? [解] 不可能。将方格表黑白相间染色,不妨设黑格为13个,白格为12个,如果能实现,因黑白格交替出现,黑白格数目应相等,得出矛盾,故不可能。 6.凸包的使用。 给定平面点集A,能盖住A的最小的凸图形,称为A的凸包。 例8 试证:任何不自交的五边形都位于它的某条边的同一侧。 [证明] 五边形的凸五包是凸五边形、凸四边形或者是三角形,凸包的顶点中至少有3点是原五边形的顶点。五边形共有5个顶点,故3个顶点中必有两点是相邻顶点。连结这两点的边即为所求。 7.赋值方法。 例9 由2×2的方格纸去掉一个方格余下的图形称为拐形,用这种拐形去覆盖5×7的方格板,每个拐形恰覆盖3个方格,可以重叠但不能超出方格板的边界,问:能否使方格板上每个方格被覆盖的层数都相同?说明理由。 [解] 将5×7方格板的每一个小方格内填写数-2和1。如图18-1所示,每个拐形覆盖的三个数之和为非负。因而无论用多少个拐形覆盖多少次,盖住的所有数字之和都是非负的。另一方面,方格板上数字的总和为12×(-2)+23×1=-1,当被覆盖K层时,盖住的数字之和等于-K,这表明不存在满足题中要求的覆盖。 -2 1 -2 1 -2 1 1 1 1 1 -2 1 -2 1 -2 1 1 1 1 1 -2 1 -2 1 -2 1 1 1 1 1 -2 1 -2 1 -2 8.图论方法。 例10 生产由六种颜色的纱线织成的双色布,在所生产的双色布中,每种颜色的纱线至少与其他三种颜色的纱线搭配过。证明:可以挑出三种不同的双色布,它们包含所有的颜色。 [证明] 用点A1,A2,A3,A4,A5,A6表示六种颜色,若两种颜色的线搭配过,则在相应的两点之间连一条边。由已知,每个顶点至少连出三条边。命题等价于由这些边和点构成的 图中有三条边两两不相邻(即无公共顶点)。因为每个顶点的次数≥3,所以可以找到两条边不相邻,设为A1A2,A3A4。 (1)若A5与A6连有一条边,则A1A2,A3A4,A5A6对应的三种双色布满足要求。 (2)若A5与A6之间没有边相连,不妨设A5和A1相连,A2与A3相连,若A4和A6相连,则A1A2,A3A4,A5A6对应的双色布满足要求;若A4与A6不相连,则A6与A1相连,A2与A3相连,A1A5,A2A6,A3A4对应的双色布满足要求。 综上,命题得证。 二、习题精选 1.药房里有若干种药,其中一部分药是烈性的。药剂师用这些药配成68副药方,每副药方中恰有5种药,其中至少有一种是烈性的,并且使得任选3种药恰有一副药方包含它们。试问:全部药方中是否一定有一副药方至少含有4种烈性药?(证明或否定) 2.21个女孩和21个男孩参加一次数学竞赛,(1)每一个参赛者最多解出6道题;(2)对每一个女孩和每一个男孩至少有一道题被这一对孩子都解出。求证:有一道题至少有3个女孩和至少有3个男孩都解出。 3.求证:存在无穷多个正整数n,使得可将3n个数1, 2,…, 3n排成数表 a1, a2…an b1, b2…bn c1, c2…cn 满足:(1)a1+b1+c1= a2+b2+c2=…= an+bn+cn=,且为6的倍数。 (2)a1+a2+…+an= b1+b2+…+bn= c1+c2+…+cn=,且为6的倍数。 4.给定正整数n,已知克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,…,n克的所有物品,求k的最小值f(n)。 5.空间中有1989个点,其中任何3点都不共线,把它们分成点数各不相同的30组,在任何3个不同的组中各取一点为顶点作三角形。试问:为使这种三角形的总数最大,各组的点数应分别为多少? 6.在平面给定点A0和n个向量a1,a2,…,an,且使a1+a2+…+an =0。这组向量的每一个排列ai,ai,?,ai12都定义一个点集:A1,A2,…,An=A0,使得 nai?A0A1,ai?A1A2,?,ai?An?1An 12n求证:存在一个排列,使由它定义的所有点A1,A2,…,An-1都在以A0为角顶的某个60角的内部和边上。 7.设m, n, k∈N,有4个酒杯,容量分别为m,n,k和m+n+k升,允许进行如下操作:将一个杯中的酒倒入另一杯中或者将另一杯倒满为止。开始时,大杯中装满酒而另3个杯子却空着,问:为使对任何S∈N,S 8.设有30个人坐在一张圆桌的周围,其中的每个人都或者是白痴,或者是聪明人。对在座的每个人都提问:“你右边的邻座是聪明人还是白痴?”聪明人总是给出正确的答案,而白痴既可能回答正确,也可能回答不正确。已知白痴的个数不超过F,求总可以指出一位聪明人的最大的F。 9.某班共有30名学生,每名学生在班内都有同样多的朋友,期末时任何两人的成绩都可分出优劣,没有相同的。问:比自己的多半朋友的成绩都要好的学生最多能有多少人? 0
2020届高三数学毕业班课本知识点整理归纳之十八
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