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2020年高考数学压轴必刷题
专题08立体几何与空间向量(文理合卷)
1.【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为( ) A.8
π
B.4
π
C.2
π
D.
π
【解答】解:如图,
由PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,可知三棱锥P﹣ABC为正三棱锥, 则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心,连接BO并延长,交AC于G, 则AC⊥BG,又PO⊥AC,PO∩BG=O,可得AC⊥平面PBG,则PB⊥AC, ∵E,F分别是PA,AB的中点,∴EF∥PB,
又∠CEF=90°,即EF⊥CE,∴PB⊥CE,得PB⊥平面PAC, ∴正三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直,
把三棱锥补形为正方体,则正方体外接球即为三棱锥的外接球, 其直径为D半径为故选:D.
2.【2019年浙江08】设三棱锥V﹣ABC的底面是正三角形,侧棱长均相等,P是棱VA上的点(不含端点).记直线PB与直线AC所成角为α,直线PB与平面ABC所成角为β,二面角P﹣AC﹣B的平面角为γ,则( ) A.β<γ,α<γ
B.β<α,β<γ
C.β<α,γ<α
D.α<β,γ<β
,则球O的体积为
.
.
【解答】解:方法线段AO上,作DE⊥AC于E,易得PE∥VG,过P作PF∥AC于F, 过D作DH∥AC,交BG于H,
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则α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED, 则cosαtanγ
cosβ,可得β<α;
tanβ,可得β<γ,
方法由最大角定理可得β<γ'=γ; 方法易得cosα故选:B.
,可得sinα
,sinβ
,sinγ
,
3.【2018年新课标1理科12】已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A.
B.
C.
D.
【解答】解:正方体的所有棱中,实际上是3组平行的棱,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,如图:所示的正六边形平行的平面,并且正六边形时,α截此正方体所得截面面积的最大, 此时正六边形的边长
,
.
α截此正方体所得截面最大值为:6故选:A.
4.【2018年新课标3理科10】设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且面积为9
,则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为( )
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A.12 B.18 C.24 D.54
【解答】解:△ABC为等边三角形且面积为9,可得,解得AB=6,
球心为O,三角形ABC 的外心为O′,显然D在O′O的延长线与球的交点如图: O′C
,OO′
2,
则三棱锥D﹣ABC高的最大值为:6, 则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为:故选:B.
18
.
5.【2018年浙江08】已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3,则( ) A.θ1≤θ2≤θ3
B.θ3≤θ2≤θ1
C.θ1≤θ3≤θ2
D.θ2≤θ3≤θ1
【解答】解:∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心. 过E作EF∥BC,交CD于F,过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N, 连接SN,
取AB中点M,连接SM,OM,OE,则EN=OM, 则θ1=∠SEN,θ2=∠SEO,θ3=∠SMO. 显然,θ1,θ2,θ3均为锐角. ∵tanθ1∴θ1≥θ3, 又sinθ3∴θ3≥θ2. 故选:D.
,sinθ2
,SE≥SM, ,tanθ3
,SN≥SO,
专题08立体几何与空间向量(文理合卷)
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