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2020年高考数学压轴必刷题
专题08立体几何与空间向量(文理合卷)
1．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（ ） A．8
π
B．4
π
C．2
π
D．
π
【解答】解：如图，
由PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥P﹣ABC为正三棱锥， 则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心，连接BO并延长，交AC于G， 则AC⊥BG，又PO⊥AC，PO∩BG＝O，可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC， ∵E，F分别是PA，AB的中点，∴EF∥PB，
又∠CEF＝90°，即EF⊥CE，∴PB⊥CE，得PB⊥平面PAC， ∴正三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，
把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球， 其直径为D半径为故选：D．
2．【2019年浙江08】设三棱锥V﹣ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P﹣AC﹣B的平面角为γ，则（ ） A．β＜γ，α＜γ
B．β＜α，β＜γ
C．β＜α，γ＜α
D．α＜β，γ＜β
，则球O的体积为
．
．
【解答】解：方法线段AO上，作DE⊥AC于E，易得PE∥VG，过P作PF∥AC于F， 过D作DH∥AC，交BG于H，
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则α＝∠BPF，β＝∠PBD，γ＝∠PED， 则cosαtanγ
cosβ，可得β＜α；
tanβ，可得β＜γ，
方法由最大角定理可得β＜γ'＝γ； 方法易得cosα故选：B．
，可得sinα
，sinβ
，sinγ
，
3．【2018年新课标1理科12】已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ） A．
B．
C．
D．
【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α截此正方体所得截面面积的最大， 此时正六边形的边长
，
．
α截此正方体所得截面最大值为：6故选：A．
4．【2018年新课标3理科10】设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9
，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（ ）
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A．12 B．18 C．24 D．54
【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9，可得，解得AB＝6，
球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图： O′C
，OO′
2，
则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6， 则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为：故选：B．
18
．
5．【2018年浙江08】已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（ ） A．θ1≤θ2≤θ3
B．θ3≤θ2≤θ1
C．θ1≤θ3≤θ2
D．θ2≤θ3≤θ1
【解答】解：∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心． 过E作EF∥BC，交CD于F，过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N， 连接SN，
取AB中点M，连接SM，OM，OE，则EN＝OM， 则θ1＝∠SEN，θ2＝∠SEO，θ3＝∠SMO． 显然，θ1，θ2，θ3均为锐角． ∵tanθ1∴θ1≥θ3， 又sinθ3∴θ3≥θ2． 故选：D．
，sinθ2
，SE≥SM， ，tanθ3
，SN≥SO，
专题08立体几何与空间向量(文理合卷)
