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3.1.3 导数的几何意义
双基达标 （限时20分钟）
3?12?
1．已知曲线y＝x－2上一点P?1，－?，则过点P的切线的倾斜角为( )．
2?2?A．30°
B．45° D．165°
C．135°
1
解析 ∵y＝x2－2，
2
1?12?（x＋Δx）2－2－?x－2?2?2?
∴y′＝
Δx12
（Δx）＋x·Δx21??＝＝?x＋Δx?＝x.
2?Δx?
3??
∴y′|x＝1＝1.∴点P?1，－?处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.
2??答案 B
2．已知曲线y＝2x3上一点A(1，2)，则A处的切线斜率等于( )． A．2
B．4
信达
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C．6＋6Δx＋2(Δx)
3
2
D．6
Δy2（x＋Δx）3－2x3
解析 ∵y＝2x，∴y′＝＝
ΔxΔx（Δx）3＋3x（Δx）2＋3x2Δx＝2
Δx＝2[(Δx)2＋3xΔx＋3x2]＝6x2.
∴y′|x＝1＝6.∴点A(1，2)处切线的斜率为6. 答案 D
3．设f(x)存在导函数，且满足
f（1）－f（1－2Δx）
＝－1，则曲线y＝f(x)
2Δx上点(1，f(1))处的切线斜率为( )． A．2 C．1 解析
B．－1 D．－2
f（1）－f（1－2Δx）f（1）－f（1－2Δx）
＝
2Δx2Δx＝f′(1)＝－1. 答案 B
4．曲线y＝2x－x3在点(1，1)处的切线方程为________．
解析 求出y＝2x－x3在(1，1)处的斜率为－1，故方程为x＋y－2＝0. 答案 x＋y－2＝0
5．设f(x)为可导函数，且满足条件
f（1）－f（1－x）
＝－2，则曲线y＝f(x)
2x在点(1，f(1))处的切线的斜率是________． 解析 由
f（1）－f（1－x）1
＝－2，∴f′(1)＝－2，f′(1)＝－4.
2x2
答案 －4
6．求过点P(－1，2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1，1)处的切线平行的直线． 解 先求曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1，1)处的斜率， 3（1＋Δx）2－4（1＋Δx）＋2－3＋4－2
k＝y′(1)＝
Δx＝(3Δx＋2)＝2.
信达
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设过点P(－1，2)且斜率为2的直线为l，则由点斜式：
y－2＝2(x＋1)，化为一般式：2x－y＋4＝0. 所以，所求直线方程为2x－y＋4＝0.
综合提高 （限时25分钟）
7．设函数f(x)在x＝x0处的导数不存在，则曲线y＝f(x)( )． A．在点(x0，f(x0))处的切线不存在 B．在点(x0，f(x0))处的切线可能存在 C．在点x0处不连续 D．在x＝x0处极限不存在
解析 函数f(x)在x＝x0处的导数不存在，只能说明过点(x0，f(x0))的直线斜率不存在，此时直线与x轴垂直，所以在点(x0，f(x0))处的切线可能存在． 答案 B
1?1?
8．函数y＝－在?，－2?处的切线方程是( )．
x?2?A．y＝4x C．y＝4x＋4
－
解析 ∵y′＝
B．y＝4x－4 D．y＝2x－4
11Δx＋
x＋Δxxx（x＋Δx）1
＝＝2，
ΔxΔxx1??1??
∴f′??＝4，∴切线方程是y＋2＝4?x－?，
2??2??得y＝4x－4. 答案 B
9．若曲线y＝2x2－4x＋p与直线y＝1相切，则p的值为________．
解析 设切点为(x0，1)，f′(x0)＝4x0－4，由题意知，4x0－4＝0，x0＝1，即切点为(1，1)，所以1＝2－4＋p， ∴p＝3. 答案 3
1?11?
10．已知曲线y＝－1上两点A?2，－?，B2＋Δx，－＋Δy，当Δx＝1时割
2?x2?
信达
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线AB的斜率为________．
－Δx1
解析 ∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝＝－，
2（2＋Δx）6Δy1
∴kAB＝＝－.
Δx61答案 －
6
11．曲线y＝x2－3x上的点P处的切线平行于x轴，求点P的坐标． 解 设P(x0，y0)，
Δy＝(x＋Δx)2－3(x＋Δx)－(x2－3x) ＝2x·Δx＋(Δx)2－3Δx，
Δy2x·Δx＋（Δx）2－3Δx＝＝2x＋Δx－3. ΔxΔxΔy＝(2x＋Δx－3)＝2x－3， Δx39
∴y′|x＝x0＝2x0－3，令2x0－3＝0得x0＝，代入曲线方程得y0＝－，∴
249??3
，－?. P?
4??2
12．(创新拓展)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c通过点P(1，1)，Q(2，－1)，且在点
Q处与直线y＝x－3相切，求实数a、b、c的值．
解 ∵曲线y＝ax2＋bx＋c过P(1，1)点，∴a＋b＋c＝1.① ∵y′＝2ax＋b，∴y′|x＝2＝4a＋b，∴4a＋b＝1.② 又曲线过Q(2，－1)点，∴4a＋2b＋c＝－1，③ 联立①②③解得a＝3，b＝－11，c＝9.
信达
人教A版高中数学选修一3.1.3 导数的几何意义
