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不可以,因为洛必塔法则的理论基础是柯西中值定理.
8.2 偏导数 1. 已知
f(x?y,ey)?x2y,求f(x,y)
y?y?lnv 令x?y?u,e?v那么解出x,y得?,
x?u?lnv?所以或者
8.3全微分极其应用
1.写出多元函数连续,偏导存在,可微之间的关系 偏导数偏导数
f(u,v)?x2(u,v).y(u,v)?(u?lnv)2.lnv f(u,v)?(u?lnv)2.lny
fx?, fy?连续?Z可微? Z?f(x,y)连续? f(x,y)极限存在 fx?, fy?连续?偏导数fx?, fy?存在
2. 判断二元函数
?xy?f(x,y)??3x2?y2?0?(x,y)?(x0,y0)(x,y)?(x0,y0)在原点处是否可微.
对于函数
f(x,y),先计算两个偏导数:
f(?x,0)?f(0,0)0?0fx?(0,0)?lim?lim?0
?x?0?x?0?x?xfy?(0,0)?lim?x?0f(0,?y)?f(0,0)0?0?lim?0 ?x?0?y?y?x?y22??(?x)?(?y)??56又
x?x0y?y0limf(?x,?y)?f(0,0)?fx?(0,0)?x?fy?(0,0)?y(?x)?(?y)22?limx?x0y?y0
令?y?k?x,则上式为limk(?x)2(1?k)?x52653?x?0?k(1?k)5?x?026lim?x?0
13因而
f(x,y)在原点处可微.
8.4多元复合函数的求导法则 1. 设z?f(xy),fx?y可微,求dz.
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dz?f?(?f?(
xyxyxy(x?y)d(xy)?xyd(x?y))d()?f?()x?yx?yx?y(x?y)222xyyxyy?)dx?f()dyx?y(x?y)2x?y(x?y)2
8.5隐函数的求导
1. 设x?x(y,z),y?y(x,z),z?z(x,y)都是由方程F(x,y,z)?0所确定的具有连续偏导数
的函数,证明
?x?y?z..??1. ?y?z?x对于方程
F(x,y,z)?0,如果他满足隐函数条件.例如,具有连续偏导数且Fx??0,则由方程
F(x,y,z)?0可以确定函数x?x(y,z),即x是y,z的函数,而y,z是自变量,此时具有偏导
Fy??xFz??x??数,???z?yFx?Fx?同理,
F??y??z?zFy?,所以
?x?y?z..??1. ?y?z?x
8.6多元函数的极值及其求法 1.设
f(x,y)在点p0(x0,y0)处具有偏导数,若fx?(x,y)?0,fy?(x,y)?0则函数f(x,y)在该点
取得极值,命题是否正确?
不正确,见多元函数极值存在的充分必要条件.
2.如果二元连续函数在有界闭区域内有惟一的极小值点，且无极大值，那么该函数是否在该点取得最小值？ 不一定，对于一元函数来说上述结论是成立的，但对于多元函数，情况较为复杂，一般来说结论不能简单的推广。
例如，二元函数Z
由二元函数极值判别法：
?f(x,y)?3x2?3y2?x3，(x2?y2?16)
?z?6x?3x2?0，解得 x1?0，x2?2， ?x
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?z?6y?0， 解得 y?0?y
故得驻点M1
?(0,0)，M2?(2,0)
?2z?2z?2z?0， C?2?6A?2?6?6x，B??x?y?y?x AC?B2?36(1?x)
由于 以及
AC?B2(0,0)f0，AC?B2(2,0)p0，
A(0,0)f0，所以M1?(0,0)，是函数的惟一极小值点，但是f(4,0)??16pf(0,0)，
故
f(0,0)不是f(x,y)在D上的最小值.
第十一章 无穷级数
11.1常数项级数的概念和性质
?nn?1??121. 若通项an?0，则级数
(?1)n21un??nnn?1?n?1?ann收敛，这种说法是否正确？否
an11?(an?2)n2n2. 若级数
?an?1?n加括号后所成的新级数发散，则原级数必定发散，而加括号后所的级数收敛，则无
法判定原级数的敛散性，这种说法是否正确？正确
11.2常数项级数的审敛法 1. 若级数
?un?1?n收敛，则级数
?un?1?2n一定收敛。判断这句话是否正确？
(?1)n不正确，如?nn?1?，un2?1 n
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2. 若正项级数
?an收敛，判断级数?n?1??n?1ann的敛散性。
收敛 因为??an111?(an?2)，由于?an收敛，?2n2nn?1n?1n收敛，于是
?n?1?ann收敛。
3. 收敛则一定绝对收敛，绝对收敛不一定收敛。
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