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高等数学部分易混淆概念 第一章：函数与极限
一、数列极限大小的判断 例1：判断命题是否正确． 若xn?yn(n?N)，且序列xn,yn的极限存在，limxn?A,limyn?B,则A?B
n??n??解答：不正确．在题设下只能保证而limxnn??11不能保证A?B．例如：xn?,yn?，xn?yn,?n，A?B，
nn?1?limyn?0．
n??例2．选择题 设xn?zn?yn，且lim(yn?xn)?0,则limzn（ ）
n??n?? A．存在且等于零 B. 存在但不一定等于零 C．不一定存在 D. 一定不存在 答：选项C正确 分析：若limxnn???limyn?a?0，由夹逼定理可得limzn?a?0，故不选A与D.
n??n?? 取xn11?(?1)n?,yn?(?1)n?,zn?(?1)n，则xn?zn?yn，且lim(yn?xn)?0，但limzn 不
n??n??nn?a?yn,且lim(yn?xn)?0,则{xn}与{yn}（ ）
n??存在，所以B选项不正确，因此选C． 例3．设xn A．都收敛于a B. 都收敛，但不一定收敛于a C．可能收敛，也可能发散 D. 都发散 答：选项A正确． 分析：由于xn?a?yn,，得0?a?xn?yn?xn，又由lim(yn?xn)?0及夹逼定理得
n??lim(a?xn)?0
n?? 因此，limxnn???a，再利用lim(yn?xn)?0得limyn?a．所以选项A．
n??n??二、无界与无穷大
无界：设函数
f(x)的定义域为D，如果存在正数M，使得
f(x)?M?x?X?D
则称函数
f(x)在X上有界，如果这样的M不存在，就成函数f(x)在X上无界；也就是说如果对于任
f(x1)?M，那么函数f(x)在X上无界．
何正数M，总存在x1?X，使
无穷大：设函数
．如果对于任意f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或x大于某一正数时有定义）
，只要x适合不等式0?x?x0??X）
（或
给定的正数M（不论它多么大），总存在正数?（或正数
x?X），对应的函数值f(x)总满足不等式
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f(x)?M
则称函数
f(x)为当x?x0（或x??）时的无穷大．
例4：下列叙述正确的是： ② ① 如果② 如果
f(x)在x0某邻域内无界，则limf(x)??
x?x0x?x0limf(x)??，则f(x)在x0某邻域内无界
解析：举反例说明．设
1111令xn?当n???时，xn?0,yn?0，,yn?,，f(x)?sin，
?xxn?2n??2而
limf(xn)?lim(2n??)??? n???n???2n???? 故
limf(yn)?0
f(x)在x?0邻域无界，但x?0时f(x)不是无穷大量，则①不正确．
结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大．
由定义，无穷大必无界，故②正确． 三、函数极限不存在?极限是无穷大
当x?x0（或x??）时的无穷大的函数
f(x)，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为
了便于叙述函数的性态，我们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．
?x?1?例5：函数f(x)??0?x?1?四、如果
x?0x?0x?0，当x?0时f(x)的极限不存在．
x?x0limf(x)?0不能退出limx?x01?? f(x)例6：f(x)???x?0x为有理数1，则limf(x)?0，但由于在x?0的任一邻域的无理点均没有
x?x0x为无理数f(x)定义，故无法讨论
1在x?0的极限． f(x)结论：如果
x?x0limf(x)?0，且f(x)在x0的某一去心邻域内满足f(x)?0，则lim1为无穷小。 f(x)x?x01??．反f(x)之，
f(x)为无穷大，则
五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是否相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无
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穷大时极限是否相等。 例7．求极限limex??x,lime
x?01x解：
x???limex???,limex?0，因而x??时ex极限不存在。
x???
x?0?lime?0,lime???，因而x?0时e极限不存在。
x?0?1x1x1x六、使用等价无穷小求极限时要注意：
（1）乘除运算中可以使用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用。这时，一般可以用泰勒公式来求极限。
（2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点可以用等价无穷小因子替换 例8：求极限limx?01?x?1?x?2 2x1?x?1?x?2写成(1?x?1)?(1?x?1)，再用等价无穷小替换就会导致
分析一：若将错误。
分析二：用泰勒公式
11(?)122x2??(x2))1?x?1?x?(1?x?22!11(?)122x2??(x2))?2 ?(1?x?22!1??x2??(x2)41?x2??(x2)1??原式?4。
x24sinx
x??x解：本题切忌将sinx用x等价代换，导致结果为1。
sinxsin?lim??0 x??x?例9：求极限lim七、函数连续性的判断
（1）设
f(x)在x?x0间断，g(x)在x?x0连续，则f(x)?g(x)在x?x0间断。而
f(x)?g(x),f2(x),f(x)在x?x0可能连续。
例10．设
?0f(x)???1x?0，g(x)?sinx，则f(x)在x?0间断，g(x)在x?0连续，x?0f(x)?g(x)?f(x)?sinx?0在x?0连续。
若设
?1f(x)????1x?02，f(x)在x?0间断，但f(x)?f(x)?1在x?0均连续。 x?0只供学习与交流
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（2）“
f(x)在x0点连续”是“f(x)在x0点连续”的充分不必要条件。
x?x0分析：由“若
limf(x)?a，则limf(x)?a”可得“如果limf(x)?f(x0)，则
x?x0x?x0x?x0，因此，f(x)在x0点连续，则f(x)在x0点连续。再由例10可得，f(x)在x0limf(x)?f(x0)”
点连续并不能推出
f(x)在x0点连续。
x0连续，f(u)在u?u0??(x0)连续，则f(?(x))在x?x0连续。其余结论均
第二章 导数与微分
（3）?(x)在x?不一定成立。
一、函数可导性与连续性的关系
可导必连续，连续不一定可导。 例11．二、
f(x)?x在x?0连读，在x?0处不可导。
f(x)与f(x)可导性的关系
（1）设
f(x0)?0，f(x)在x?x0连续，则f(x)在x?x0可导是f(x)在x?x0可导的充要条
件。
（2）设
f(x0)?0，则f?(x0)?0是f(x)在x?x0可导的充要条件。
三、一元函数可导函数与不可导函数乘积可导性的讨论
设F(x)?g(x)?(x)，但不可导，又g?(a)存在，则g(a)?0是F(x)在x?a?(x)在x?a连续，可导的充要条件。
分析：若g(a)?0，由定义
F?(a)?limF(x)?F(a)g(x)?(x)?g(a)?(a)g(x)?g(a)?lim?lim?(x)?g?(a)?(a)x?ax?ax?ax?ax?ax?aF(x)g(x) 反之，若F?(a)存在，则必有g(a)?0。用反证法，假设g(a)?0，则由商的求导法则知?(x)?在x?a可导，与假设矛盾。
利用上述结论，我们可以判断函数中带有绝对值函数的可导性。 四、在某点存在左右导数时原函数的性质
（1）设
f(x)在x?x0处存在左、右导数，若相等则f(x)在x?x0处可导；若不等，则f(x)在
x?x0连续。
（2）如果
f(x)在(a,b)内连续，x0?(a,b)，且设limf?(x)?limf?(x)?m,则f(x)在
x?x0?x?x0?x?x0处必可导且f?(x0)?m。
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若没有如果
f(x)在(a,b)内连续的条件，即设limf?(x)?limf?(x)?a，则得不到任何结论。
x?x0?x?x0?例11．
?x?2f(x)???xx?0x?0，显然设limf?(x)?limf?(x)?1，但limf(x)?2，
x?0?x?0?x?0?x?0x?0?limf(x)?0，因此极限limf(x)不存在，从而f(x)在x?0处不连续不可导。
第三章 微分中值定理与导数的应用
一、若
x???limf?(x)?A,(A?0,可以取?）, 则limf(x)??
x???若
x???limf?(x)?A?0，不妨设A?0，则?X?0,x?X时，f?(x)?f(x)?f(X)?f?(?)(x?X)A，再由微分中值定理 2(x?X,??(X,x))
?同理，当A?0时，
若
f(x)?f(X)?x???A(x?X)2(x?X)?limf(x)???
x???limf(x)???
x???limf?(x)???,??X?0,x?X时，f?(x)?1，再由微分中值定理
f(x)?f(X)?f?(?)(x?X)(x?X,??(X,x))
?同理可证
f(x)?f(X)?(x?X)(x?X)?limf(x)???
x???x???limf?(x)???时，必有limf(x)???
x???第八章 多元函数微分法及其应用
8.1多元函数的基本概念 1.
??f0,
??1,?2f0x?x0y?y0,使得当
x?x0p?1,
y?y0p?2且
(x,y)?(x0,y0)时,有
f(x,y)?Ap?,那么limf(x,y)?A成立了吗?
成立,与原来的极限差异只是描述动点
p(x,y)与定点p0(x0,y0)的接近程度的方法不一样,这里采
用的是点的矩形邻域, ,而不是常用的圆邻域,事实上这两种定义是等价的. 2. 若上题条件中(x,y) 如果(x,y)此对
?(x0,y0)的条件略去,函数f(x,y)就在(x0,y0)连续吗?为什么?
?(x0,y0)条件没有,说明f(x0,y0)有定义,并且(x0,y0)包含在该点的任何邻域内,由
,都有
??f0f(x,y)?Ap?,从而
A?f(x0,y0),因此我们得到
x?x0y?y0limf(x,y)?A?f(x0,y0),即函数在(x0,y0)点连续.
3. 多元函数的极限计算可以用洛必塔法则吗?为什么?
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不可以,因为洛必塔法则的理论基础是柯西中值定理.
8.2 偏导数 1. 已知
f(x?y,ey)?x2y,求f(x,y)
y?y?lnv 令x?y?u,e?v那么解出x,y得?,
x?u?lnv?所以或者
8.3全微分极其应用
1.写出多元函数连续,偏导存在,可微之间的关系 偏导数偏导数
f(u,v)?x2(u,v).y(u,v)?(u?lnv)2.lnv f(u,v)?(u?lnv)2.lny
fx?, fy?连续?Z可微? Z?f(x,y)连续? f(x,y)极限存在 fx?, fy?连续?偏导数fx?, fy?存在
2. 判断二元函数
?xy?f(x,y)??3x2?y2?0?(x,y)?(x0,y0)(x,y)?(x0,y0)在原点处是否可微.
对于函数
f(x,y),先计算两个偏导数:
f(?x,0)?f(0,0)0?0fx?(0,0)?lim?lim?0
?x?0?x?0?x?xfy?(0,0)?lim?x?0f(0,?y)?f(0,0)0?0?lim?0 ?x?0?y?y?x?y22??(?x)?(?y)??56又
x?x0y?y0limf(?x,?y)?f(0,0)?fx?(0,0)?x?fy?(0,0)?y(?x)?(?y)22?limx?x0y?y0
令?y?k?x,则上式为limk(?x)2(1?k)?x52653?x?0?k(1?k)5?x?026lim?x?0
13因而
f(x,y)在原点处可微.
8.4多元复合函数的求导法则 1. 设z?f(xy),fx?y可微,求dz.
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dz?f?(?f?(
xyxyxy(x?y)d(xy)?xyd(x?y))d()?f?()x?yx?yx?y(x?y)222xyyxyy?)dx?f()dyx?y(x?y)2x?y(x?y)2
8.5隐函数的求导
1. 设x?x(y,z),y?y(x,z),z?z(x,y)都是由方程F(x,y,z)?0所确定的具有连续偏导数
的函数,证明
?x?y?z..??1. ?y?z?x对于方程
F(x,y,z)?0,如果他满足隐函数条件.例如,具有连续偏导数且Fx??0,则由方程
F(x,y,z)?0可以确定函数x?x(y,z),即x是y,z的函数,而y,z是自变量,此时具有偏导
Fy??xFz??x??数,???z?yFx?Fx?同理,
F??y??z?zFy?,所以
?x?y?z..??1. ?y?z?x
8.6多元函数的极值及其求法 1.设
f(x,y)在点p0(x0,y0)处具有偏导数,若fx?(x,y)?0,fy?(x,y)?0则函数f(x,y)在该点
取得极值,命题是否正确?
不正确,见多元函数极值存在的充分必要条件.
2.如果二元连续函数在有界闭区域内有惟一的极小值点，且无极大值，那么该函数是否在该点取得最小值？ 不一定，对于一元函数来说上述结论是成立的，但对于多元函数，情况较为复杂，一般来说结论不能简单的推广。
例如，二元函数Z
由二元函数极值判别法：
?f(x,y)?3x2?3y2?x3，(x2?y2?16)
?z?6x?3x2?0，解得 x1?0，x2?2， ?x
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?z?6y?0， 解得 y?0?y
故得驻点M1
?(0,0)，M2?(2,0)
?2z?2z?2z?0， C?2?6A?2?6?6x，B??x?y?y?x AC?B2?36(1?x)
由于 以及
AC?B2(0,0)f0，AC?B2(2,0)p0，
A(0,0)f0，所以M1?(0,0)，是函数的惟一极小值点，但是f(4,0)??16pf(0,0)，
故
f(0,0)不是f(x,y)在D上的最小值.
第十一章 无穷级数
11.1常数项级数的概念和性质
?nn?1??121. 若通项an?0，则级数
(?1)n21un??nnn?1?n?1?ann收敛，这种说法是否正确？否
an11?(an?2)n2n2. 若级数
?an?1?n加括号后所成的新级数发散，则原级数必定发散，而加括号后所的级数收敛，则无
法判定原级数的敛散性，这种说法是否正确？正确
11.2常数项级数的审敛法 1. 若级数
?un?1?n收敛，则级数
?un?1?2n一定收敛。判断这句话是否正确？
(?1)n不正确，如?nn?1?，un2?1 n
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2. 若正项级数
?an收敛，判断级数?n?1??n?1ann的敛散性。
收敛 因为??an111?(an?2)，由于?an收敛，?2n2nn?1n?1n收敛，于是
?n?1?ann收敛。
3. 收敛则一定绝对收敛，绝对收敛不一定收敛。
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