②当点P在x轴下方时， 同理可得：点P（﹣，﹣）；
综上，点P的坐标（，
）或（﹣，﹣
）．
8．解：（1）将A（3，0），B（0，3）分别代入抛物线解析式，得
．
解得
．
故该抛物线解析式是：y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线AB的解析式是：y＝kx+t（k≠0）， 把A（3，0），B（0，3）分别代入，得
．
解得k＝﹣1，t＝3． 则该直线方程为：y＝﹣x+3．
故设P（m，﹣m+3），Q（m，﹣m2+2m+3）． 则BP＝
m，PQ＝﹣m2+3m．
∵OB＝OA＝3， ∴∠BAO＝45°． ∵QM⊥OA， ∴∠PMA＝90°． ∴∠AMP＝45°．
∴∠BPQ＝∠AMP＝∠BAO＝45°． 又∵∠BOP＝∠QBP， ∴△POB∽△QBP． 于是
＝
，即
＝
．
解得m1＝，m2＝0（舍去）． ∴PQ＝﹣m2+3m＝
；
26
（3）由两点间的距离公式知，BP2＝2m2，PQ2＝（﹣m2+3m）2，BQ2＝m2+（﹣m2+2m）
2
．
①若BP＝BQ，2m2＝m2+（﹣m2+2m）2， 解得m1＝1，m2＝3（舍去）． 即m＝1符合题意．
②若BP＝PQ，2m2＝（﹣m2+3m）2， 解得m1＝3﹣即m＝3﹣
，m2＝3+符合题意．
（舍去）．
③若PQ＝BQ，（﹣m2+3m）2＝m2+（﹣m2+2m）2， 解得m＝2．
综上所述，m的值为1或3﹣
或2．
9．解：（1）由题意得：
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）∵抛物线与x轴交于B（﹣1，0），C（3，0）， ∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，
如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，
27
由翻折得C′B＝CB＝4，
在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′H＝＝
＝2
，∴点C′的坐标为（1，2），tan
，
∴∠C′BH＝60°，
由翻折得∠DBH＝∠C′BH＝30°，
在Rt△BHD中，DH＝BH?tan∠DBH＝2?tan30°＝，
∴点D的坐标为（1，
）．
（3）解：取（2）中的点C′，D，连接CC′，
∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°，
∴△C′CB为等边三角形．分类讨论如下：
①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．
28
∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，
∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°， ∴∠BCQ＝∠C′CP， ∴△BCQ≌△C′CP（SAS）， ∴BQ＝C′P．
∵点Q在抛物线的对称轴上， ∴BQ＝CQ， ∴C′P＝CQ＝CP， 又∵BC′＝BC， ∴BP垂直平分CC′，
由翻折可知BD垂直平分CC′， ∴点D在直线BP上，
设直线BP的函数表达式为y＝kx+b，
则，解得，
∴直线BP的函数表达式为y＝．
②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．
∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，
∴CP＝CQ，BC＝CC′，∠CC′B＝∠QCP＝∠C′CB＝60°．∴∠BCP＝∠C′CQ，
29
∴△BCP≌△C′CQ（SAS）， ∴∠CBP＝∠CC′Q， ∵BC′＝CC′，C′H⊥BC， ∴
∴∠CBP＝30°，
设BP与y轴相交于点E，
在Rt△BOE中，OE＝OB?tan∠CBP＝OB?tan30°＝1×∴点E的坐标为（0，﹣
）．
，
．
设直线BP的函数表达式为y＝mx+n，
则，解得，
∴直线BP的函数表达式为y＝﹣综上所述，直线BP的函数表达式为
．
或
．
10．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C， ∴
，解得
，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3； （2）如图：
①设P（m，m2﹣4m+3），
将点B（3，0）、C（0，3）代入得直线BC解析式为yBC＝﹣x+3．
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2020年中考数学一轮复习培优训练：《二次函数》及答案
