2008年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有
一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内
.)
(1)设函数x2f(x)0
ln(2t)dt
则f(x)的零点个数
(A)0 (B)1
(C)2
(D)3
(2)函数f(x,y)arctanxy
在点(0,1)处的梯度等于
(A)i(B)-i(C)j
(D)
j
(3)在下列微分方程中,以yC1exC2cos2xC3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是
(A)yy4y4y0(B)yy4y4y0(C)y
y
4y
4y
0(D)y
y
4y
4y
0
(4)设函数f(x)在(
,
)
内单调有界,xn为数列,下列命题正确的是
(A)若xn收敛,则f(xn)收敛(B)若xn单调,则f(xn)收敛(C)若f(xn)收敛,则xn收敛
(D)若f(xn)单调,则xn收敛
(5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵. 若A3
0,
则(A)EA不可逆,EA
不可逆
(B)
EA
不可逆,
E
A
可逆
(C)
E
A
可逆,
E
A
可逆(D)
E
A
可逆,E
A
不可逆
(6)设A为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程
x
(x,y,z)Ay
1在正交变换下的标准方程的图形如图
,则
z
A的正特征值个数为
(A)0 (B)1
(C)2
(D)3
(7)设随机变量X,Y独立同分布且X分布函数为Fx,则ZmaxX,Y分布函数为
(A)F2x(B) FxFy(C) 1
1Fx
2
(D) 1Fx
1Fy
(8)设随机变量X~N0,1,Y~N1,4且相关系数XY
1,则(A)PY
2X11(B)PY2X11(C)PY
2X1
1
(D)PY2X1
1
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)
(9)微分方程xyy
0满足条件y11的解是y.
(10)曲线sinxylny
x
x在点0,1处的切线方程为
. (11)已知幂级数
anx
2
n
在x0处收敛,在x4处发散
,则幂级数
anx3
n
的
n0
n0
收敛域为
. (12)设曲面
是z
4
x
2
y
2
的上侧,则
xydydzxdzdxx2
dxdy
.
(13)设A为2阶矩阵,α1,α2为线性无关的2维列向量,Aα10,Aα2
2α1α2,则A的非
零特征值为
.
(14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则PX
EX
2
.
1
三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写
出文字说明、证明过程或演算步骤
.)
(15)(本题满分10分) 求极限lim
sinxsinsinx
sinx
x0
x
4
.
(16)(本题满分10分) 计算曲线积分L
sin2xdx2x
2
1ydy,其中一段.
是曲线ysinx上从点0,0到点,0的
(17)(本题满分10分)
2
已知曲线C:
xy
2
2z
2
0
x
y3z5
,求曲线C距离XOY面最远的点和最近的点.
(18)(本题满分10分) 设fx是连续函数, (1)利用定义证明函数Fx
x0
ftdt可导,且F
x
fx.
(2)当为周期的周期函数时,证明函数x
2
fx是以2Gx2
0
f(t)dtx
0
f(t)dt也是以为周期的周期函数.
2
2
L本题满分10分)
fx
1x2
(0
x
),用余弦级数展开n1
并求
12
的和.
n1
n
本题满分11分)
A
ααT
ββT
,αT
为α的转置,βT
为β的转置.证明:
r(A)2. (2)
若αβ
,线性相关,则r(A)2. 3
(19)(,(20)((1)(21)(本题满分11分)
2a
1设矩阵A
a
2
2a
1,a
2
2a
nn
X
x1,
,xT
n
,B
1,0,
,0,
(1)求证A
n1an.
(2)a为何值,方程组有唯一解,求x1.
现矩A满足方程
AXB
其(3)a为何值,方程组有无穷多解,求通解.
4
阵,中
(22)(本题满分11分)
设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为PXi
13i
1,0,1
,Y的概率密度
f0
y1
Yy
10其它
,记Z
X
Y,
(1)求PZ
12
X0.
(2)求Z的概率密度.
(23)(本题满分11分)
设X1,X2,,Xn是总体为N(,2
)的简单随机样本n
记X1n
2
12
n
X2
i
,S
i1
n1
(Xi
X)
,T
X
2
1i1
n
S
证明T是
2
的无偏估计量.
(2)当0,
1时 ,
求DT.
.
5
为 (1)
2008-2014历年考研数学一真题及答案详解资料
