. .
四边形ABCD为菱形且?BAD?60 ??BAD为等边三角形 ?DF?AB 又AA1?平面ABCD，DF?平面ABCD ?DF?AA1
∴DF?平面ABB1A1，即DF?平面AMA1
?DF为平面AMA1的一个法向量，且DF???33??2,2,0?? ??设平面MA1N的法向量n??x,y,z?，又MA1???33?3,?1,2?，MN???2,?2,0?? ???n?MA1?3x?y?2z?0???，令x?3，则y?1，z??1 ?n?33x?y?0?n?MN?22??3,1,?1
??cos?DF,n??DF?nDF?n?31510? ?sin?DF,n??
5155?二面角A?MA1?N的正弦值为：10 5【点睛】
本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.
19．（1）12x?8y?7?0；（2）【解析】 【分析】
（1）设直线l：y=413. 33x?m，A?x1,y1?，B?x2,y2?；根据抛物线焦半径公式可得2x1+x2?1；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m的方程，解方程求
得结果；（2）设直线l：x?2y?t；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形3式；利用AP?3PB可得y1??3y2，结合韦达定理可求得y1y2；根据弦长公式可求得结
eord完美格式
. .
果. 【详解】
3x?m，A?x1,y1?，B?x2,y2? 235由抛物线焦半径公式可知：AF?BF?x1?x2??4 ?x1?x2?
22（1）设直线l方程为：y=3?y?x?m?222联立?得：9x??12m?12?x?4m?0 2??y?3x1 2712m?125?x1?x2???，解得：m??
928则???12m?12??144m?0 ?m?22?直线l的方程为：y?37x?，即：12x?8y?7?0 282（2）设P?t,0?，则可设直线l方程为：x?y?t
32?x?y?t?23联立?得：y?2y?3t?0 2?y??3x1则??4?12t?0 ?t??
3?y1?y2?2，y1y2??3t
AP?3PB ?y11，y1?3 ?y1y2??3 ??3y2 ?y2??2则AB?1?【点睛】
4?9?y1?y2??4y1y2?13413 ?4?12?33本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 20．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
eord完美格式
. .
???（1）求得导函数后，可判断出导函数在??1,?上单调递减，根据零点存在定理可判断出
?2????????x0??0,?，使得g??x0??0，进而得到导函数在??1,?上的单调性，从而可证得结
?2??2?论；（2）由（1）的结论可知x?0为f?x?在??1,0?骣p÷?x西0,÷时，首?上的唯一零点；当?桫2÷先可判断出在(0,x0)上无零点，再利用零点存在定理得到f?x?在?x0,?上的单调性，2?????可知f?x??0，不存在零点；当x?????,??时，利用零点存在定理和f?x?单调性可判断2??出存在唯一一个零点；当x???,???，可证得f?x??0；综合上述情况可证得结论. 【详解】
（1）由题意知：f?x?定义域为：??1,???且f??x??cosx?1 x?1???1x??1,? 令g?x??cosx?，?x?12???g??x???sinx?11?x?1?2，x???1,????? 2??x?1?2111???????,在??1,在??上单调递减，??1,?上单调递减 an?1an7?2??2???????g??x?在??1,?上单调递减
2?44????g??sin???1?0 又g??0???sin0?1?1?0，??2222?????2????2??????x0??0,?，使得g??x0??0
?2?????当x???1,x0?时，g??x??0；x??x0,?时，g??x??0
2?????x,?上单调递减 gx?1,x即??在?0?上单调递增；在?02?? eord完美格式
. .
则x?x0为g?x?唯一的极大值点
????fx??即：在区间??1,?上存在唯一的极大值点x0. ?2?（2）由（1）知：f??x??cosx?1，x???1,??? x?1①当x???1,0?时，由（1）可知f??x?在??1,0?上单调递增
?f??x??f??0??0 ?f?x?在??1,0?上单调递减
又f?0??0
?x?0为f?x?在??1,0?上的唯一零点
???????fxx,?上单调递减 x?0,??0,x()②当时，在?0上单调递增，在?0?2???2?又f??0??0 ?f??x0??0
?f?x?在(0,x0)上单调递增，此时f?x??f?0??0，不存在零点
?22????f?cos????0 又??2??2??2?2??????x1??x0,?，使得f??x1??0
2??????f?x?在?x0,x1?上单调递增，在?x1,?上单调递减
?2?又
?2e???????ln1?0 f?x0??f?0??0，f???sin?ln?1???ln222??2????????f?x??0在?x0,?上恒成立，此时不存在零点
2??③当x?????,??时，sinx单调递减，?ln?x?1?单调递减 2??????f?x?在?,??上单调递减
?2? eord完美格式
. .
???f又???0，f????sin??ln???1???ln???1??0 ?2?即f????f???????,??上单调递减 ?0fx??，又在??2???2?????f?x?在?,??上存在唯一零点
?2?④当x???,???时，sinx??1,1，ln???x?1??ln???1??lne?1
?sinx?ln?x?1??0
即f?x?在
??,???上不存在零点
综上所述：f?x?有且仅有2个零点 【点睛】
本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可. 21．（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）p4?【解析】 【分析】
（1）首先确定X所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出a,b,c的取值，可得
1. 257pi?0.4pi?1?0.5pi?0.1pi?1?i?1,2,???,7?，从而
整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合【详解】
（1）由题意可知X所有可能的取值为：?1，0，1
p8和p0的值可求得p1；再次利用累加法可求出p4.
?P?X??1???1????；P?X?0??????1????1???；P?X?1????1???
eord完美格式
2019年高考全国1卷理科数学试题和答案
