2021年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破
专题3.1 导数的概念及运算
目录
一、题型全归纳 .......................................................................................................................................................... 1
题型一 导数的运算 ............................................................................................................................................ 1
命题角度一 求已知函数的导数 .............................................................................................................. 1 命题角度二 求抽象函数的导数值........................................................................................................... 2 题型二 导数的几何意义 .................................................................................................................................... 3
命题角度一 求切线方程 .......................................................................................................................... 3 命题角度二 求切点坐标 .......................................................................................................................... 3 命题角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值 ........................................................................................ 4 命题角度四 导数与函数的图象 .............................................................................................................. 4
二、高效训练突破 ...................................................................................................................................................... 5
一、题型全归纳 题型一 导数的运算
命题角度一 求已知函数的导数
【题型要点】1．谨记一个原则
先化简解析式，使之变成能用求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导． 2．熟记求导函数的五种形式及解法
(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．
(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；
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(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；
(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． 3．求复合函数的导数的一般步骤
(1)确定复合关系．注意内层函数通常为一次函数． (2)由外向内逐层求导． 【例1】求下列函数的导数： (1)y＝(2x2－1)(3x＋1)； (2)y＝x－sin2xcos2x； (3)y＝excosx； ln ?2x＋1?(4)y＝.
x1
(5)y＝ln x＋ xsinx(6)y＝
x
(7)y＝(x2＋2x－1)e2x.
－
命题角度二 求抽象函数的导数值
【题型要点】对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f′(x0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f′(x)，令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．
【例2】(2020·华中师范大学第一附中模拟)设函数f(x)的导数为f′(x)，且f?x??x3??f????x2?x，则f′(1)＝________.
【例2】已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝ ．
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??2????3??题型二 导数的几何意义
命题角度一 求切线方程
【题型要点】求切线方程问题的两种类型及方法
(1)求“在”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)处的切线方程：点P(x0，y0)为切点，切线斜率为k＝f′(x0)，有唯一的一条切线，对应的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．.
(2)求“过”曲线y＝f(x)上一点P(x0，y0)的切线方程：切线经过点P，点P可能是切点，也可能不是切点，这样的直线可能有多条，解决问题的关键是设切点，利用“待定切点法”，即： ①设切点A(x1，y1)，则以A为切点的切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)；
??y1＝f?x1?，
①根据题意知点P(x0，y0)在切线上，点A(x1，y1)在曲线y＝f(x)上，得到方程组?求出
?y0－y1＝f′?x1??x0－x1?，?
切点A(x1，y1)，代入方程y－y1＝f′(x1)(x－x1)，化简即得所求的切线方程．
【例1】（2020年新课标全国3卷(理)）若直线l与曲线y=x和x2+y2=
1都相切，则l的方程为（ ） 5D. y=
A. y=2x+1 B. y=2x+
1 2C. y=
1x+1 211x+ 22
，f(1))处的切线方程为【例2】（2020年新课标全国1卷.6（理））函数f(x)?x4?2x3的图像在点(1（ ）
A. y??2x?1 C. y?2x?3
B. y??2x?1 D. y?2x?1
命题角度二 求切点坐标
【题型要点】求切点坐标的思路
已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．
【例3】(2020·广州模拟)设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则
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点P的坐标为( ) A．(0,0) C．(－1,1)
【例4】(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．
B．(1，－1) D．(1，－1)或(－1,1)
命题角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值
【题型要点】处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：抓住以下三点
①切点处的导数是切线的斜率； ①切点在切线上； ①切点在曲线上．
exe【例5】(2020·高考全国卷Ⅲ（文）)设函数f?x??．若f??1??，则a=_________．
x?a4【例6】(2020·郑州市第一次质量预测)已知函数f(x)＝ln x－ax(a①R)的图象与直线x＋y＋1＝0相切，则实数a的值为________．
命题角度四 导数与函数的图象
【题型要点】函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．
【例7】函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
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二、高效训练突破 一、选择题
1.(2020·宜昌模拟)已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝( ) 12－8ln 2A. 1－2ln 24C. 1－2ln 2
2
B． 1－2ln 2D．－2
1－2ln x
2．(2020·安徽江南十校检测)曲线f(x)＝在点P(1，f(1))处的切线l的方程为( )
xA．x＋y－2＝0 C．3x＋y＋2＝0
B．2x＋y－3＝0 D．3x＋y－4＝0
3.(2019·高考全国卷Ⅲ)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为( ) A．x－y－π－1＝0 C．2x＋y－2π＋1＝0
B．2x－y－2π－1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
4.(2020·安徽宣城八校联考)若曲线y＝aln x＋x2(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是?1A. 243C. 4
3B．
83D． 2
????,?，则a＝( ) 3?2?5．(2020·宁夏中卫月考)函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝( ) A．1
B．2
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导数的概念及运算——2021年高考理科数学一轮复习热点题型全归纳与高效训练突破(附解析)
