3.2.2 导数与函数的极值、最值
A组 专项基础训练
(时间：35分钟)
1．(2017·南昌模拟)已知函数f(x)＝(2x－x)e，则()
A．f(2)是f(x)的极大值也是最大值B．f(2)是f(x)的极大值但不是最大值C．f(－2)是f(x)的极小值也是最小值
x2
2
xD．f(x)没有最大值也没有最小值
2
【解析】由题意得f′(x)＝(2－2x)e＋(2x－x)e＝(2－x)e，当－2＜x＜2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x＜－2或x＞2时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，所以f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝2(2－1)e
2xx＞0，在x＝－2处取得极小值f(－
2)＝2(－2－1)e－2＜0，又当x＜0时，f(x)＝(2x－x2)ex＜0，所以f(2)是f(x)的极大
值也是最大值．【答案】 A
2．(2017·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是()
－xA．y＝xB．y＝ln(－x)
3
C．y＝xe D．y＝x＋3
2x【解析】由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数，A选项中，函数y＝x单调递增(无
极值)，而D选项中的函数既为奇函数又存在极值．
【答案】 D
3．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，
则函数y＝xf′(x)的图象可能是()
【解析】由函数f(x)在x＝－2处取得极小值，可得f′(－2)＝0，且当x∈(a，－2)(a＜－2)时，f(x)单调递减，即f′(x)＜0；当x∈(－2，b)(b＞－2)时，f(x)单调递增，即
f′(x)＞0.
所以函数y＝xf′(x)在区间(a，－2)(a＜－2)内的函数值为正，在区间(－2，b)(－2＜
b＜0)内的函数值为负，由此可排除选项A，B，D.
【答案】 C
4．已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋a在x＝1处有极值10，则f(2)等于()
A．11或18 B．11
322
C．18 D．17或18
3
2
2
【解析】∵函数f(x)＝x＋ax＋bx＋a在x＝1处有极值10，
∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，
???1＋a＋b＋a2＝10，?a＝－3，??a＝4，即?解得?或?????3＋2a＋b＝0，?b＝3?b＝－11. 而当???a＝－3，??b＝3时，函数在x＝1处无极值，故舍去．
∴f(x)＝x＋4x－11x＋16，
33
2
∴f(2)＝18.【答案】 C
2
5．(2017·黑龙江大庆铁人中学期中)若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x－ax－bx＋2在
x＝1处有极值，则ab的最大值等于()
A．4 B．8C．9 D．18
2
【解析】因为f(x)＝4x－ax－bx＋2，所以f′(x)＝12x－2ax－b.由于函数f(x)在x＝1处有极值，所以f′(1)＝0，即12－2a－b＝0，2a＋b＝12.因为a＞0，b＞0，所以ab＝
32
11?2a＋b?2·2a·b≤??＝18，当且仅当2a＝b＝6，即a＝3，b＝6时取等号，所以ab的最大22?2?
值是18.故选D.【答案】 D
6．函数f(x)＝＋x－3x－4在[0，2]上的最小值是________．
【解析】f′(x)＝x＋2x－3，f′(x)＝0，x∈[0，2]，
得x＝1.
2
x332
比较f(0)＝－4，f(1)＝－
17，31017f(2)＝－，可知最小值为－.
33
【答案】－
173
x7．(2015·陕西)函数y＝xe在其极值点处的切线方程为________．
xxxxx【解析】由y＝xe可得y′＝e＋xe＝e(x＋1)，从而可得y＝xe在(－∞，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，所以当x＝－1时，y＝xe取得极小值－e，因为y′|x＝－1＝0，故切
线方程为y＝－e，即y＝－.
3
2
2
－1
x－1
1e【答案】y＝－1e8．(2017·广州模拟)已知f(x)＝x＋3ax＋bx＋a在x＝－1时有极值0，则a－b＝
2
________．
【解析】由题意得f′(x)＝3x＋6ax＋b，
??a2＋3a－b－1＝0，则???b－6a＋3＝0，??a＝1，??a＝2，?解得或?经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，?b＝3?b＝9，?? 而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.
【答案】－7
9．(2017·济宁模拟节选)已知函数f(x)＝
1＋ln x(k≠0)．求函数f(x)的极值．kx1＋ln x，其定义域为(0，＋∞)，kx
则f′(x)＝－
【解析】f(x)＝
ln x.kx2令f′(x)＝0，得x＝1，
高考数学总复习3.2.2导数与函数的极值最值演练提升同步测评文新人教B版
