第2课时 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
解答题
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1.(2019兰州诊断)已知曲线C上的任意一点到直线l:x=-1的距离与到点F(,0)的距离相等. 22(1)求曲线C的方程;
(2)若过P(1,0)的直线与曲线C相交于A,B两点,Q(-1,0)为定点,设直线AQ的斜率为k1,直线
112BQ的斜率为k2,直线AB的斜率为k,证明:??2+2-2为定值. ????
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解析 (1)由条件可知,此曲线是焦点为F的抛物线,设抛物线方程为y2=2px(p>0),则
??1
=,p=1,∴曲线22C的方程为y2=2x.
(2)证明:由已知得,直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0), 由{??2=2x设
??=??(??-1),
可得ky2-2y-2k=0.
y1+y2=2,y1y2=-2. ??
2??
2
??2??21A(2,??1),B(22,??2),则
??
2??
1
12∵k1=??21=??2+2,k2=??22=??2+2,
??
1+122+122
(??2+2)
∴??2+??2=14??2112
1
1
2
2
(??2+2)
+24??22
2
2242422222(??2+2)??22+(??2+2)??1??1??2+??2??1+8??1??2+4(??1+??2)=14??= 2??224??2121??2
8(??2+??2)+32(??+??)-2????+4
=1162=12212
2
=
42+8??22
=??2+4.
112
∴??2+2-2=4,为定值. ????
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√3√3????2.(2019石家庄质检)已知椭圆C:??2+2=1(a>b>0)的离心率为2,且经过点(-1,2). ??
22
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点(√3,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,试问在x轴上是否存在定点Q,使得直线QA与直线QB恰好关于x轴对称?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
??√313解析 (1)由题意可得??=2,??2+4??2=1,
又a2-b2=c2,所以a2=4,b2=1.
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所以椭圆C的方程为??4+y2=1.
3(2)存在定点Q(4√,0),满足直线QA与直线QB恰好关于x轴对称. 32
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为x+my-√3=0,与椭圆C的方程联立得{??2
4
??+????-√3=0,+??2=1,
整理得,(4+m2)y2-2√3my-1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),定点Q(t,0)(依题意t≠x1,t≠x2).
2√3m-1由根与系数的关系可得,y1+y2=4+??2,y1y2=4+??2.
直线QA与直线QB恰好关于x轴对称,则直线QA与直线QB的斜率互为相反数, 所以??1-t+??2-t=0,即y1(x2-t)+y2(x1-t)=0.
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????
又x1+my1-√3=0,x2+my2-√3=0,
所以y1(√3-my2-t)+y2(√3-my1-t)=0,整理得, (√3-t)(y1+y2)-2my1y2=0,
2√3m-1从而可得(√3-t)·4+??2-2m·4+??2=0,
即2m(4-√3t)=0,
34√3所以当t=4√,即Q(,0)时,直线QA与直线QB恰好关于x轴对称.特别地,当直线l为x轴333时,Q(4√,0)也符合题意. 33当直线l的斜率不存在,即直线l垂直于x轴时,Q(4√,0)符合题意. 33综上所述,在x轴上存在定点Q(4√,0),使得直线QA与直线QB恰好关于x轴对称. 3
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2021百强高中高考数学复习圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题
