备战2020-2021高考数学
难点5求解函数解析式
求解函数解析式是高考重点考查内容之一， 际问题的能力.
?难点磁场
(★★★★)已知 f(2 — cosx)=cos2x+cosx,求 f(x— 1). ?案例探究
需引起重视.本节主要帮助考生在深刻理解
函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力 和解决实
a a-1 x
1
[例 1：(1)已知函数 f(x)满足 f(logaX)= —(x-—)(其中 a>0,aM 1,x>0),求 f(x)的表达 式.
(2)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c满足 |f(1)|=|f(— 1)|=|f(0)|=1,求 合运用知识的能力.属^^★★题目.
知识依托：利用函数基础知识，特别是对“ 技巧与方法：(1)用换元法；(2)用待定系数法. 解：(1)令 t=logax(a>1,t>0;0 a2 —1 — f(x)的表达式. 命题意图：本题主要考查函数概念中的三要素：定义域、值域和对应法则，以及计算 能力和综 f”的理解，用好等价转化，注意定义域 . 错解分析：本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错 二 f(x)= (ax — a— x)(a>1,x>0;0 ⑵由 f(1)= a+b+c,f(— 1)= a— b+c,f(0)= c a =-[f (1) + f(—1)]-f(0) 2 I 1 得｛b=2[f(1)-f(—1)] c = f (0) 并且f(1)、f( — 1)、f(0)不能同时等于1或—1,所以所求函数为：f(x)=2x2— 1或f(x)= —2x2+1 或 f(x)= — x2— x+1 或 f(x)=x2— x— 1 或 f(x)= — x2+x+1 或 f(x)=x2+x— 1. ［例2：设f(x)为定义在R上的偶函数，当x<— 1时，y=f(x)的图象是经过点(一2, 0), 斜率为1的射线，又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在 (0, 2)，且过点(一1, 1)的一段抛 物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图象 . 命题意图：本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法， 对分段函数的分析需要较强的思维能力 ★题目.知识.因此，分段函数是今后高考的热点题型 依托：函数的奇偶性是桥梁， 线. 错解分析：本题对思维能力要求很高， 分类讨论、综合运用知识易发生混乱 .属★★★ 分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主 专业?标准?规范 备战2020-2021高考数学 技巧与方法：合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式 解：(1)当 x<— 1 时，设 f(x)=x+b ???射线过点(—2, 0). A 0= — 2+b 即 b=2 ,??? f(x)=x+2. 2 ⑵当—1 ???抛物线过点(一1, 1),??? 1 = a?(—1)1 2+2,即 a=— 1 ?- f(x)= — X2+2. ⑶当 x> 1 时，f(x)= — x+2 x +1,x <—1 2 -x2,—1 ex <1作图由读者来完成. 综上可知：f(X)= ? -X + 2,x >1 ?锦囊妙计 本难点所涉及的问题及解决方法主要有： 1. 待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法； 2. 数 也可用配凑法； 3. 消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解 另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法 ?歼灭难点训练 一、选择题 换元法或配凑法，已知复合函f [ g(x):的表达式可用换元法, f(x)； 当表达式较简单时 1 )已知f(x)+2f( —)=3x,求f(x)的解析式为 ___________ . 2 x △.(★★★★* )已知 f(x)=ax +bx+c,若 f(0)=0 且 f(x+1)=f(x)+x+1,则 f(x)= __________ . 三、解答题 5.(^^^^ )设二次函数f(x)满足f(x— 2)=f( — x — 2),且其图象在y轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为 72，求f(x)的解析式. 6. (^^^^ )设f(x)是在 (一8，+ m)上以4为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间[2, 3： 上时，f(x)= — 2(x— 3)2+4,求 当x�[ 1,2：时f(x)的解析式 若矩形ABCD的两个顶点A、 B在x轴上，C、D在y=f(x)(0W x< 2)的图象上，求这个矩形面积的最大值 专业?标准?规范 . 备战2020-2021高考数学 〔.(★★★* )若函数f(x)= ---------- (xM -)在定义域内恒有 f [f(x): A.3 2.(^^^^^ )设函数 x>1时f(x)等于( 2 2 B.- 4x -3 3 2 4 C.—- =x，则m等于( D. — 3 ) 3 2 y=f(x)的图象关于直线 x=1对称，在x< 1 B.f(x)=(x— 3)2 — 1 2 时，f(x)=(x+1)2 — 1,则 ) A.f(x)=(x+3) — 1 C.f(x)=(x— 3) +1 二、填空题 D.f(x)=(x— 1) — 专业?标准?规范 备战2020-2021高考数学 7. (★★★★★)动点P从边长为1的正方形 ABCD的顶点A 出发顺次经过 B、C、D再回到A,设X表示P点的行程，f(x)表 示PA的长，g(x)表示△ ABP的面积，求f(x)和g(x),并作出g(x)的 简图. 8. (^^^^^ )已知函数y=f(x)是定义在 R上的周期函数，周 期T=5，函数y=f(x)( — K xw 1)是奇函数，又知 y=f(x)在［0, 1: 上是一次函数，在［1 , 4］上是二次函数，且在 x=2时，函数取 得最小值，最小值为-5. (1)证明：f(1)+f(4)=0; ⑵试求y=f(x),xC： 1,4］的解析式； ⑶试求y=f(x)在［4, 9］上的解析式. 参考答案 难点磁场 解法一：(换元法) 2 ■/ f(2 — cosx)=cos2x— cosx=2cos x— cosx— 1 令 u=2 — cosx(1 w u w 3),则 cosx=2 — u ??? f(2 — cosx)=f(u)=2(2 — u)2— (2 — u)— 1=2u2— 7u+5(1 w uw 3) ??? f(x— 1)=2(x— 1)2— 7(x— 1)+5=2 x2— 11x+4(2 w x w 4) 解法二：(配凑法) 2 2 f(2 — cosx)=2cos x— cosx — 1=2(2 — cosx) — 7(2 — cosx) +5 ??? f(x)=2x2 — 7x— 5(1 w xw 3),即 f(x— 1)=2(x — 1)2— 7(x— 1)+5=2x2— 11x+14(2 w xw 4). 歼灭难点训练 一、1.解析：f(x)= mx 4x-3 mx ??? f : f(x)]=—— , mx c 4 ---------- -3 4x —3 =x,整理比较系数得 m=3. 答案：A 2.解析：利用数形结合， xw 1时，f(x)=(x+1)2— 1的对称轴为x= — 1,最小值为—1，又 y=f(x)关于x=1对称，故在x>1上，f(x)的对称轴为x=3且最小值为—1. 答案：B 111 1 2 二、3解析：由f(x)+2f(—)=3x知f( —)+2f(x)=3—.由上面两式联立消去 x x x f(—)可得f(x)=- x x 一 X. 2 答案：f(x)= ---------- x x 4. 解析：??? f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知 c=0.又 f(x+1)=f(x)+x+1, 专业?标准?规范 备战2020-2021高考数学 J T 0 1 1 2 3 4 2 2 二 a(x+1) +b(x+1)+0= ax +bx+x+1,即(2a+b) x+a+b=bx+x+1. 1 1 答案： x2+ - X 1 1 2 1 2 1 2 故 2a+b=b+1 且 a+b=1,解得 a= - ,b= - , A f(x)= - x2+ - x. 2 2 三、5.解： 2 :: f(x)=ax2+bx+c然后找关于 a、b、c的方程组求解, 利用待定系数法，设 2 2 8 f(x)=-x +-x 7 7 +1. 6.解：(1)设 x�[ 1,2]，则 4 — x�[2,3: ,v f(x)是偶函数，二 f(x)=f( — x),又因为 4 是 f(x) 的周期，??? f(x)=f( — x)=f(4 — x)= — 2(x— 1)2+4. 2 (2)设 x�[0, 1 :,贝U 2 2 f(x)= — 2(x— 1) +4,设A、B坐标分别为 (1 —1,0) ,(1 + t,0)(0 形 2 =2t(- 2t2+4)=4t(2 — t2),令 S 2严+2-t2+2-严 3 64 3 3 —=2t2(2 — t) ? (2 —1)< ( ------------- --------- )旦, 622 6 当且仅当2t=2 — t64X8 ,即tn、时取等号测16苗 6 16^6 3 27 即 SW ------- 9 , .?? Smax= 9 S W ------ 27 当P点在BC- 上运动时，由 Rt△ ABD 7.解：(1)如原题图，当P在AB上运动时，PA=x; 矩 S2 2 2 22 2 可得FA= Jl +(x -1)2 ;当P点在CD上运动时，由Rt△ ADP易得PA= Jl +(3-x)2 ；当P 点在DA上运动时，PA=4 — X,故f(x)的表达式为: (0 f(x)= 2 “x2 -2x +2 (1 (2 CX <3) (3CX <4) (2)由于P点在折线 ABCD上不同位置时，△ ABP的形状各有特征，计算它们的面积 P 点的位置进行分类求解. 也有不同的方法，因此同样必须对 如原题图，当 P在线段AB上时，△ ABP的面积S=0 ;当P在BC上时，即1< x< 2 1 2 1 2 1 2 1 2 时，SAAB P=—AB - BP = —(x— 1);当 P 在 CD 上时，即 2 < x< 3 时，G ABP =— ? 1 ?仁一； 当 P 在 DA 上时，即 3< XW 4 时，SA AB P=-(4 — x). 专业?标准?规范
【高考数学考点突破】求解函数解析式(2020-2021)
