.《线性代数B》试卷
一二三四五六总分
得分一、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
?10?01?1.设A??
?00?
?0?300?00??，则A＝10?
?08?
.
2.A为n阶方阵,AAT=E且A?0,则A?E?
?12?2?4t3?,3．设方阵A??????3?11??t?
.B为三阶非零矩阵，且AB=O，则
.
4.设向量组?1,?2,?,?m线性无关，向量?不能由它们线性表示，则向量组?1,?2,?,?m,?的秩为
.T
T
-1
5．设A为实对称阵，且|A|≠0，则二次型f=xAx化为f=yAy的线性变换是x=．
T
?６．设R3的两组基为a1??1,1,1?，a2??1,0,?1?，a3??1,0,1?；
?T
?1?(1,2,1,)，?2??2,3,4?,?3??3,4,3?，则由基a1,a2,a3到基
?
?
?1,?2,?3
.的过渡矩阵为.
得分二、单项选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）
1.设Dn为n阶行列式，则Dn＝0的必要条件是[].(A)Dn中有两行元素对应成比例；(B)Dn中各行元素之和为零；(C)Dn中有一行元素全为零；
(D)以Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解．
?，?线性无关，?，?，?线性相关，2．若向量组?，则[].
(A)?必可由?，?，?线性表示；(B)?必可由?，?，?线性表示；(C)?必可由?，?，?线性表示；(D)?必可由?，?，?线性表示.
３．设3阶方阵A有特征值0，－1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P＝(P1，P2，P3)，则P－1AP＝[].
?100?
0?10?；(A)?????000???000?010?；(C)????1??00－?
?000?
0?10?；(B)?????001???100?000?．(D)????1??00－?
４．设α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是
[].
(A)α1，α2，α3-α1；(B)α1，α1+α2，α1+α3；
(C)α1+α2，α2+α3，α3+α1；(D)α1-α2，α2-α.，α3-α1.
５．若矩阵A3×4有一个3阶子式不为0，则A的秩Ｒ(A)=[].
(A)1；(B)2；(C)3；(D)4．
T
６．实二次型f＝xAx为正定的充分必要条件是[].
(A)A的特征值全大于零；(B)A的负惯性指数为零；
(C)|A|>0；(D)R(A)=n.
3
得分三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分）
1
b1?10
0b21?b2?1
00b31?b3
1.求D?
?11?b100
的值.
.２.求向量组?1?(1,1,1,4),?2?(2,1,3,5),?3?(1,?1,3,?2),?4?(3,1,5,6)的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.
?1３.设A、P均为3阶矩阵，且PTAP=??0??0α3),
Q=(α1+α2,α2,α3),求QTAQ．
00?
10?,若P=(α1,α2,00???
.4．设A是n阶实对称矩阵，A2?2A?O，若R(A)?k(0?k?n)，求A?3E.
?220?
82a?相似于对角矩阵?，求a.5.设矩阵A=?????006??
得分?x1?a1x2?a12x3?a13，
?23?x1?a2x2?a2x3?a2，
四、（本题满分10分）对线性方程组?23
?x1?a3x2?a3x3?a3，
23??x1?a4x2?a4x3?a4.
(1)若a1,a2,a3,a4两两不等，问方程组是否有解，为什么？(2)若a1?a3?b,a2?a4??b(b?0)，且已知方程的两个解
?1?(1,1,?1)T,?2?(?1,1,1)T，试给出方程组的通解．
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