第五章 方差分析
课后习题参考答案
5.1 下面给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数：
菌型 A1 A2 A3 2 4 5 6 存活日数 3 2 4 7 7 2 5 4 6 8 5 10 7 12 6 9 5 7 11 6 6 7 10 6 3 10 设小白鼠存活日数服从方差相等的正态分布，试问三种菌型的平均存活日数有无显著差异？(??0.01)
解：(1)手工计算解答过程 提出原假设：记
H0:?i?0?i?1,2,3?
2?1?rni2?ST???Xij????Xij???208.167ni?1j?1?i?1j?1?
rni1SA??i?1nir?ni??1?rni??Xij?????Xij??70.467???n??j?1??i?1j?1?
22Se?ST?SA?137.7
当
H0成立时，
SA/?r?1?~F?r?1,n?r?Se/?n?r?
F?本题中r=3
经过计算，得方差分析表如下：
方差来源 平方和 自由度 均方 菌型A 误差 总和 查表得
70.467 2 137.7 27 208.167 29 F值 35.2335 6.909 5.1 . F1???r?1,n?r??F0.95?2,27??3.35且F=6.909>3.35，在95%的置信度下，拒绝原
假设，认为不同菌型伤寒杆菌对小白鼠的存活日数有显著影响。
(2)软件计算解答过程
组建效应检验Dependent Variable: 存活日数方差来源a平方和70.429137.737208.167自由度22729均值35.2155.101F值6.903P值.004菌型误差总和 从上表可以看出，菌种不同这个因素的检验统计量F的观测值为6.903，对应的检验概率p值为0.004，小于0.05，拒绝原假设，认为菌种之间的差异对小白鼠存活日数有显著影响。
5.2 现有某种型号的电池三批，他们分别是甲、乙、丙三个工厂生产的，为评论其质量，各随机抽取6只电池进行寿命试验，数据如下表所示：
工厂 甲 乙 丙 寿命（小时） 40 48 38 42 45 26 34 30 28 32 39 40 43 50 50 a. R Squared = .338 (Adjusted R Squared = .289)试在显著水平??0.05下，检验电池的平均寿命有无显著性差异？并求
?1??2,?1??3及?2??3的95%置信区间。这里假定第i种电池的寿命
XiN(?i,?2)(i?1,2,3)。
解：手工计算过程： 1.计算平方和
ST???(Xij?X)2?ns2?(n?1)(s*)2?14*59.429?832Se???(Xij?Xi)??niS??(ni?1)(Si*)2?4*(15.8?10?28.3)?216.422ii?1i?1rrSA???(Xi?X)??ni(Xi?X)2?4*[(42.6?39)2?(30?39)2?(44.4?39)2]?615.62i?1r其检验假设为：H0：2.假设检验：
，H1：。
F?SA/(r?1)615.6/2307.8???17.0684Se/(n?r)216.4/1218.0333F?F1??(r?1,n?r)?F0.95(2,12)?3.89所以拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。
3.对于各组之间的均值进行检验。
对于各组之间的均值进行检验有LSD-t检验和q检验。SPSS选取LSD检验（最小显著差t检验），原理如下： 其检验假设为：H0：
，H1：
。
，即LSD（the least
方法为：首先计算拒绝H0，接受H1所需样本均数差值的最小值significant difference，LSD）。然后各对比组的
与相应的LSD比较，只要对比组的
大于或等于LSD，即拒绝H0，接受H1；否则，得到相反的推断结论。
LSD-t检验通过计算各对比组的
与其标准误之比值是否达到t检验的界值
|xA?xB|?t1??(N?r)211MSe(?)nAnB
由此推算出最小显著差LSD，而不必计算每一对比组的t值
LSD?|xA?xB|?t1??(N?r)MSe(211?)nAnB
如果两对比组的样本含量相同，即时，则
LSD?|xA?xB|?t1??(N?r)MSe22n
?A??B的置信区间为：
2（|xA?xB|?t1??(N?r)MSe）2n
2MSe?n则本题中
22*18.033?2.6865
2?t0.975(12)*2.686?2.1788*2.686?5.852n
t1??(N?r)MSe所以
?1??2的置信区间为：
?2??3,?1??3的置信区间为：
（12.6-5.852, 12.6+5.852）, 即：（6.748，18.452） 同理可得
（-20.252，-8.548），（-7.652，4.052）
从以上数据还可以看出，说明甲和丙之间无显著差异（1.8<5.852）。而甲和乙之间(12.6>5.852)，乙和丙之间(14.4>5.852)有显著差异(显著水平为0.05)。
SPSS软件计算结果： 1.方差齐性检验
方差齐性检验结果
Levene 统计量 1.735 df1 2 df2 12 Sig. .218 从表中可以看出，Levene统计量为1.735,P值为0.218>0.05,说明各水平之间的方差齐。即方差相等的假设成立。
2.计算样本均值和样本方差。（可用计算器计算）
描述性统计量
标准化方差 标准差 下限 3.975 3.162 5.320 7.709 1.778 1.414 2.379 1.990 均值的95%置信区间 上限 47.54 33.93 51.01 43.27 最小值 最大值 38 26 39 26 48 34 50 50 37.66 26.07 37.79 34.73 1 2 3 Total 3.
N 5 5 5 15 均值 42.60 30.00 44.40 39.00 Tests of Between-Subjects EffectsDependent Variable: 寿命SourceCorrected ModelInterceptfactoryErrorTotalCorrected TotalType III Sumof Squares615.600a22815.000615.600216.40023647.000832.000df212121514Mean Square307.80022815.000307.80018.033F17.0681265.15717.068Sig..000.000.000 从表中可以看出，F值为17.068,P值为0，拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。
4.方差分析表
单因素方差分析表
Between Groups Within Groups Total 总平方和 615.600 216.400 832.000 2 12 14 平方和/自由F 度 307.800 18.033 17.068 Sig. .000 a. R Squared = .740 (Adjusted R Squared = .697)从表中可以看出，F值为17.068,P值为0，拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。 5.最小显著性差异法（LSD）结果
多重均值比较（Multiple Comparisons）
(I) 厂
工
Mean
(J) 工厂 Difference (I-J)
95% 置信区间
标准差
Sig.
下限 6.75
-7.65 -18.45 -20.25 -4.05 8.55
上限 18.45 4.05 -6.75 -8.55 7.65 20.25
1 2 12.600(*) 2.686 .001 3 -1.800 2.686 .515 2 1 -12.600(*) 2.686 .001 3 -14.400(*) 2.686 .000 3 1 1.800 2.686 .515 2 14.400(*) 2.686 .000 * The mean difference is significant at the .05 level. 从表中可以看出?1??2的置信区间为：
（12.6-5.852, 12.6+5.852）, 即：（6.748，18.452） 同理可得?1??3,?2??3的置信区间为：
（-7.652，4.052），（-20.252，-8.548） 从以上数据还可以看出，说明甲和丙之间无显著差异（sig=0.515）。而甲和乙之间(sig=0.001)，乙和丙之间(sig=0.000)有显著差异(显著水平为0.05)。 5.3 对用5种不同操作方法生产某种产品作节约原料试验，在其它条件尽可能相同的情况下，各就四批试样测得原料节约额数据如下表： 操作法 节约额 A1 4.3 7.8 3.2 6.5 A2 6.1 7.3 4.2 4.1 A3 6.5 8.3 8.6 8.2 A4 9.3 8.7 7.2 10.1 A5 9.5 8.8 11.4 7.8 假定原料节约额服从方差相等的正态分布，试问：操作法对原料节约额的影响差异是否显著？哪些水平间的差异是显的？(??0.01) 解：(1)手工计算解答过程 提出原假设：
rniH0:?i?0?i?1,2,3,4,5?
2?1?rni2?ST???Xij????Xij???89.910ni?1j?1?i?1j?1?记 1SA??i?1nir?ni??1?rni??Xij?????Xij??55.537???n??j?1??i?1j?1?
22Se?ST?SA?34.373
当0成立时，
本题中r=5，经过计算，得方差分析表如下：
H
F?SA/?r?1?~F?r?1,n?r?Se/?n?r?
《应用数理统计》吴翊李永乐第五章方差分析课后作业参考答案资料
