由封闭环公差确定各组成环公差后，可以按“偏差入体原则”或按“偏差对称”原则确定各组成环的极限偏差。对于内尺寸按H配置，对于外尺寸按h配置。对于一般长度尺寸按js配置。然后，按式（10-4）和式（10-5）确定剩下一个组成环的极限偏差。
参看图10-1所示的齿轮部件及其尺寸链图。已知：各组成环的基本尺寸A1=30mm，A2=A5=5mm，A3=43mm，组成环A4是标准件，A4=3?0.05 mm。要求装配后齿轮右端的间隙在～之间，试用完全互换法计算尺寸链，确定各组成环的极限偏差。
解：
本例中的装配技术要求（间隙应在～范围内）可用封闭环尺寸A0=0?0.10 mm表示。组成环环数m=5，A3为增环，A1、A2、A4和A5均为减环。封闭环公差T0=（0+）-(0+=。
首先，按式（10-7）确定各组成环的平均公差为 Tav，L = T0 / m = / 5 =
然后调整各组成环的公差。对尺寸较大、加工较难的组成环A1、A3应分配给较大公差；对尺寸较小的组成环A2、A5分配较小的公差值。按各组成环公差之和不得大于封闭环公差的原则，调整后得T1=， T2= T5=，T3=和T4=。
最后，确定各组成环的极限偏差。先按“偏差入体”原则确定A1、A2、A5
和A4的极限偏差，这四个组成环的尺寸为：A1=30?0.062 mm，A2=A5= 5?0.03 mm，A4=3?0.05 mm。再由式（10-4）和（10-5）计算剩下一个组成环A3的极限偏差，得：A3=43?0.100 mm。
将所确定的五个组成环的极限尺寸，用式（10-2）和（10-3）核算封闭环极限尺寸，
A0max= A3max –(A1min +A2min +A4min +A5min)
= A0min= A3min –(A1max +A2max +A4max +A5max) = =+ 能够满足设计要求。
例2 参看图10-2b所示的轴及其键槽加寸和设计尺寸，图10-2c所示的尺寸链图，已知：车削加工尺寸C1=?0.1，磨削加工尺寸C3=70?0.06mm，完工后键槽深度C0=62?0.3 mm，试确定铣削键槽的深度C2。
本例中，依次加工C1 、C2 和C3尺寸后，自然形成C0，故C0为尺寸链的封闭环。本例的计算为，已知封闭环极限尺寸与尺寸链中部分组成环的极限尺寸，求解剩下那个组成环的极限尺寸。
0 0 0?0.35 0 0 0 0?0.178解：
分析图10-2c所示的尺寸链图，判断C2 和C3/2为增环，C1/2为减环。 首先,由式（10-1）计算组成环C2 的基本尺寸，得：
C2 = C0 -C3/2+C1/2=62-70/2+2=
然后计算组成环C2 的极限偏差。因尺寸链中C1和C3取半值，故其极限偏差在尺寸链计算中应取半值。由式（10-4）、（10-5）计算得：
ES2 = ES0- ES3/2+ EI1/2 =0-0+（2）= EI2 = EI0- EI3/2+ ES1/2 = 2)+0= 因此，铣削键槽的深度为： C2 =?0.27 mm 三、 校核计算
已知全部组成环的基本尺寸和极限偏差，求封闭环的基本尺寸和极限偏差。用式（10-1）、（10-2）和式（10-3）进行计算。
例3 图10-5a为T形导轨与滑块的配合图和零件尺寸、对称度公差标注图。已知导轨和滑块的尺寸分别为A1=24 0 mm、 A2=30 0 mm、A3=23 -0.28mm和A4=30?0.08 mm，导轨小端中心平面相对于大端中心平面和滑块小端中心平面相对于大端中心平面的对称度公差分别为和。试计算当滑块与导轨大端在右侧接触时，滑块与导轨小端右侧和左侧之间的间隙A01和A02的变动范围。
由图10-5a可知：间隙A01和A02是在导轨与滑块装配后自然形成的，所以它们都是封闭环。
由于滑块和导轨都具有对称性，因此在尺寸链图10-5b与图10-5c中，尺寸A1、A2、A3和A4皆取半值。此外，导轨和滑块各自的小端中心平面相对于大端中心平面的对称度误差对间隙A01和A02的大小均有影响。所以当它们的对称度公差如图10-5a按独立原则标注时，应作为长度尺寸的组成环纳入尺寸链，并用A5和A6表示。写成极限尺寸形式为A5=0和A6=0。
（a）T形槽导轨与滑块
（b）滑块与导轨小端右侧间隙的尺寸链图 （c）滑块与导轨小端左侧间隙的尺寸链图
?0.04?0.28?0.14 0?0.05 图10-5 导轨与滑块尺寸链 ⑴ 滑块与导轨小端右侧的间隙A01的计算 解：
计算步骤如下： ① 建立尺寸链
图10-5b的尺寸链图是这样画出的，从封闭环A01的左端开始，经滑块小端
尺寸A3/2、A6，再经滑块大端尺寸A4/2至滑块与导轨大端接触处，然后经导轨大端尺寸A2/2、A5和导轨小端尺寸A1/2与封闭环A01的右端相接而成。
分析该图知，A1/2和A4/2为增环，A2/2、A3/2、A5和A6为减环。应当指出，类似对称度这种基本尺寸为零且极限偏差对称配置的组成环，取为增环或减环皆可，效果相同。
②计算封闭环A01的基本尺寸： 当A1/2=12 0?0.14?0.07 0 mm、A2/2=15 0 mm、A3/2=?0.14 mm、
A4/2=15错误! mm、A5=?、A6=?时按式（10-1），得：
A01=（A1/2+ A4/2）-（A2/2+ A3/2+ A5+ A6） =(12+15)-（15++0+0） =
③计算封闭环A01的极限尺寸：
A01max=（A1max/2+ A4max/2）-（A2min/2+ A3min/2+ A5min+ A6min） =+-（15+） =
A01min=（A1min/2+ A4min/2）-（A2max/2+ A3max/2- A5max- A6max） =(12+-（+++） =
因此，滑块与导轨小端右侧的间隙可写成A01=?0.23 mm，间隙的变动范围为～。
⑵ 滑块与导轨左侧的间隙A02的计算
分析图10-5c知，A1/2和A2/2为增环，A3/2、A4/2、A5和A6为减环。采用与（1）同样的步骤建立尺寸链并计算得：
封闭环基本尺寸A02= mm，最大极限尺寸A02max=，最小极限尺寸A02min= 因此，滑块与导轨小端左侧的间隙可写成A02=?0.10 mm，间隙变动范围为～。 当滑块与导轨大端在左侧接触时，滑块与导轨小端左侧和右侧之间的间隙的变动范围与本例计算结果相同。
?0.51?0.38 第三节 用大数互换法计算尺寸链
大数互换法是指在绝大多数产品中，装配时各组成环不需挑选或者改变其大小或位置，装入后即能达到封闭环的公差要求，实现一定置信概率下大数互换目的的尺寸链计算方法。该方法采用统计公差公式计算。
一、大数互换法的计算公式 1．封闭环与组成环公差的关系
用数理统计的方法来分析尺寸链时，可以认为各组成环的实际尺寸为独立随机变量，有各种不同的概率分布特征。而封闭环是各组成环的函数，亦为随机变
量，也有一定的概率分布特征。
实践证明，在大批量生产且稳定的工艺过程中，各组成环实际尺寸的分布接近于正态分布。当各组成环实际尺寸的分布服从正态分布时，封闭环实际尺寸的分布必为正态分布；当各组成环实际尺寸的分布为其它规律的分布时，随组成环环数的增加（当环数等于或大于5时），封闭环实际尺寸的分布亦趋向正态分布。
采用大数互换法时，可以假设各组成环实际尺寸的分布皆服从正态分布， 则封闭环实际尺寸的分布必为正态分布；各组成环实际尺寸分布中心与其公差带
中心重合；取置信概率为P=%，则尺寸分布范围与公差带范围相同
见（图10-6）。
x —尺寸，φ（x）—概率密度；L—基本尺寸； Lmax、Lmin—最大、最小极限尺寸
图10-6 上、下偏差ES、EI与中间偏差△、公差T的关系
在这种假设下，对于直线尺寸链中封闭环的标准偏差差i的关系如下：
σ0=式中 m——组成环的环数。
封闭环公差T0和各组成环公差Ti分别与各自的标准偏差的关系如下： T0=6σ0 Ti=6σi 将上两式代入式（10-7），则得： T0=
与各组成环的标准偏
0
??i?1m2i （10-7）
?Ti?1m2i (10-8)
由公式（10-8）知：尺寸链中封闭环公差等于所有组成环公差的平方之和再开平方。该式称为统计公差公式。
2．封闭环与组成环中间偏差的关系
参看图10-6，尺寸链中每个尺寸的中间偏差Δ为上偏差ES与下偏差EI的平均值，即：
=（ES +EI ）/2
上、下偏差与中间偏差、公差T的关系为： ES=Δ+T/2
EI=Δ-T/2 （10-9） 对于直线尺寸链，封闭环的中间偏差Δ0与增环中间偏差Δz、减环中间偏差
Δj的关系式如下：
Δ0=二、设计计算
大数互换法设计计算步骤与完全互换法大致相同。
首先，假设各组成环的公差相等，即T1= T2=…=Tm= Tav，Q（Tav，Q为各组成环平均公差）。由式（10-8）得：
T0=
2mTav,Q
?z?1lΔz-
?mΔj (10-10)
j?1?l因此，各组成环的平均公差 用下式计算： TaV.Q=T0/
m （10-11）
然后，在此基础上调整各组成环的公差，并确定各组成环极限偏差。 例4 用大数互换法求解例1。假设例1中各组成环实际尺寸的分布皆服从正态分布，各组成环实际尺寸分布中心分别与各自公差带中心重合，且实际尺寸分布范围与公差带范围重合。 解：
封闭环A0=0?0.10 mm，封闭环公差T0=。按式（10-11）计算 各组成环公差的平均公差： Tav,Q=T0/
?0.35m=
5=
然后，在满足（10-8）的条件下，按各组成环的尺寸大小和加工难易程度，调整他们的公差，得：T1= T3 = ，T2 = T5 = ，T4= (标准件，A4=3?0.05 mm)
最后，确定各组成环的极限偏差。先按“偏差入体”原则，确定组成环A1、A2、A5和A4的极限偏差，这四个组成环的基本尺寸和极限偏差分别为：A1=30?0.16mm,A2=A5=5?0.06mm，A4=3?0.05mm。由封闭环和上述四个组成环的极限偏差分别计算它们的中间偏差，得：
0=+，1=，2=5=，4= 0 0 0 0由式（10-10）计算剩下一个组成环A3的中间偏差，得：
3=0+（1+2+4+5）=再由式（10-9）计算组成环
A3的极限偏差，得：
ES3 = 3 + T3/2 = + 2 = + EI3 = 3 - T3/2 = - 2 = - 因此，组成环A3的极限偏差为：A3=43?0.02 mm
比较本例与例1，在封闭环公差一定的条件下，Tav,Q/Tav,L==倍，这对加工是
?0.14
尺寸链计算方法
