高考数学一轮复习：
课时作业36 直接证明与间接证明
[基础达标]
一、选择题
1．要证明3＋5<4可选择的方法有以下几种，其中最合理的为( ) A．综合法 B．分析法 C．比较法 D．归纳法
解析：要证明3＋5<4，只需证明(3＋5)<16，即8＋215<16，即证明15<4，亦即只需证明15<16，而15<16显然成立，故原不等式成立．因此利用分析法证明较为合理，故选B.
答案：B
2．用反证法证明命题：“ a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )
A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除 C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除
解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”． 答案：B
111＋
3．设x，y，z∈R，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数( )
2
yzxA．至少有一个不大于2 B．都小于2 C．至少有一个不小于2 D．都大于2
1111
解析：假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6，而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋＝（x＋）yzxx11
＋（y＋）＋（z＋）≥2＋2＋2＝6，与a＋b＋c<6矛盾，
yz∴a，b，c都小于2错误．
∴a，b，c三个数至少有一个不小于2.故选C项． 答案：C
4．若P＝a＋6＋a＋7，Q＝a＋8＋a＋5(a≥0)，则P，Q的大小关系是( ) A．P>Q B．P＝Q
C．P - 1 - 解析：假设P>Q，要证P>Q，只需证P>Q，只需证： 2a＋13＋2 22 a＋6a＋7>2a＋13＋2a＋8a＋5，只需证a2＋13a＋42>a2 ＋13a＋40，只需证42>40，因为42>40成立，所以P>Q成立． 答案：A 5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( ) A．恒为负值 B．恒等于零 C．恒为正值 D．无法确定正负 解析：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1) 答案：A 二、填空题 6．如果aa＋bb>ab＋ba，则a，b应满足的条件是________． 解析：aa＋bb>ab＋ba，即(a－b)(a＋b)>0，需满足a≥0，b≥0且a≠b. 答案：a≥0，b≥0且a≠b 7．若向量a＝(x＋1,2)，b＝(4，－2)，若a∥b，则实数x＝________. 解析：因为a∥b， 所以(x＋1)×(－2)＝2×4， 解得x＝－5. 答案：－5 8．[2020·太原模拟]用反证法证明“若x－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设__________________． 解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”． 答案：x≠－1且x≠1 三、解答题 9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin B＋sin Bsin C＋cos 2B＝1.求证：a，b，c成等差数列． 证明：由已知得sin Asin B＋sin Bsin C＝2sinB， 因为sin B≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B， 由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列． 10．已知a，b是正实数，求证 2 22 ab＋≥a＋b. baabb－aa－b＋－a－b＝＋ baab- 2 - 证明：证法一 (作差法)因为a，b是正实数，所以 ＝ a－baba－ba－b2 ＝ a＋babab＋≥a＋b. ba≥0， 所以证法二 (分析法)已知a，b是正实数， 要证ab＋≥a＋b， ba只需证aa＋bb≥ab(a＋b)， 即证(a＋b－ab)(a＋b)≥ab(a＋b)， 即证a＋b－ab≥ab， 就是要证a＋b≥2ab. 显然a＋b≥2ab恒成立，所以 ab＋≥a＋b. ba证法三 (综合法)因为a，b是正实数， 所以ab＋b＋＋a≥2baa·b＋2bb·a＝2a＋2b， a当且仅当a＝b时取等号，所以 ab＋≥a＋b. ba证法四 (综合法)因为a，b是正实数， 所以?aabb?a＋b?＋≥a＋b＋2?(a＋b)＝a＋b＋ a??bba2 aabb·＝a＋b＋2abba＝(a＋b)， 当且仅当a＝b时取等号， 所以ab＋≥a＋b. ba[能力挑战] πππ222 11．若a，b，c均为实数，且a＝x－2y＋，b＝y－2z＋，c＝z－2x＋.求证：a， 236 b，c中至少有一个大于0. 证明：假设a，b，c都不大于0， 即a≤0，b≤0，c≤0， 所以a＋b＋c≤0. - 3 - 而a＋b＋c π??2π??2π??2 ＝?x－2y＋?＋?y－2z＋?＋?z－2x＋? 2??3??6?? ＝(x－2x)＋(y－2y)＋(z－2z)＋π ＝(x－1)＋(y－1)＋(z－1)＋π－3. 所以a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0. 2 2 2 2 2 2 - 4 -
2021高考数学一轮复习课时作业36直接证明与间接证明文（含答案及解析）
