2019年高考真题 理科数学 (全国I卷)
一、单选题 本大题共11小题，每小题5分，共55分。在每小题给出的4个
选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合
A、C、
B、 D、
，则
=
2．设复数z满足
A、C、
，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（ ）
B、 D、
3．已知
A、C、
B、 D、
，则（ ）
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此
外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足
上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是
A、165 cm B、175 cm C、185 cm D、190 cm
1
5．函数f(x)=在的图像大致为
A、 B、
C、 D、
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A、 B、 C、
，且
D、
7．已知非零向量a，b满足b，则a与b的夹角为
A、 B、 C、 D、
8．如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（ ）
2
A、A= B、A=
C、A= D、A=
9．记A、
为等差数列的前n项和．已知
，则（ ）
B、
C、 D、
10．已知椭圆C的焦点为
，
，过F2的直线与C交于A，B两点．若
，则C的方程为（ ）
A、 B、
C、
11．关于函数
D、
有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（③f(x)在
，）单调递增
有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A、①②④ B、②④ C、①④ D、①③
二、填空题 本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在题中横
线上。
3
12．已知三棱锥P?ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 13．曲线
在点
处的切线方程为____________．
14．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
16．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直
，
，则C的离心
线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若率为____________．
三、简答题（综合题） 本大题共80分，简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(12分)
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设
．
（1）求A； （2）若
，求sinC．
4
18．（12分）
如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠
BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A?MA1?N的正弦值．
19．（12分）
已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的
交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程； （2）若，求|AB |．
5
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